Касательное расслоение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Неформально, касательное расслоение многообразия (в данном случае окружности) получается при рассмотрении всех касательных пространств (сверху) и объединении их гладко без пересечений (снизу)

Касательное расслоение гладкого многообразия M — есть векторное расслоение над M, слой которого в точке x\in M является касательным пространством T_xM в точке x. Касательное расслоение обычно обозначается TM.

Элемент тотального пространства TM — это пара (x,\;v), где x\in M и v\in T_xM. Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие. Размерность TM равна удвоенной размерности M.

Топология и гладкая структура[править | править вики-текст]

Если M — n-мерное многообразие, то оно обладает атласом карт (U_\alpha,\;\varphi_\alpha), где U_\alpha — открытое подмножество M и

\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\R^n

гомеоморфизм.

Эти локальные координаты на U порождают изоморфизм между T_xM и \R^n для любого x\in U. Можно определить отображение

\tilde\varphi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha)\to\R^{2n}

как

\tilde\varphi_\alpha(x,\;v^i\partial_i)=(\varphi_\alpha(x),\;v^1,\;\ldots,\;v^n).

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на TM.

Подмножество A из TM открыто тогда и только тогда, когда \tilde\varphi_\alpha(A\cap\pi^{-1}(U_\alpha)) — открытое в \R^{2n} для любого \alpha. Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств TM и \R^{2n}, поэтому они образуют карты гладкой структуры на TM. Функции перехода на пересечениях карт \pi^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta) задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств \R^{2n}.

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение n-мерного многообразия M можно определить как векторное расслоение ранга n над M, функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Простейший пример получается для \R^n. В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции \R^{2n}\to\R^n.
  • Единичная окружность S^1. Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно S^1\times\R. Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
  • Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере S^2, это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой R и единичной окружности S^1, которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-хмерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторные поля[править | править вики-текст]

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии M, значение которой в каждой точке — вектор, касательный к M, то есть гладкое отображение

V\colon M\to TM

такое, что образ x, обозначаемый V_x, лежит в T_xM — касательном пространстве в точке x. На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на M — это сечение касательного расслоения над M.

Множество всех векторных полей над M обозначается \Gamma(TM). Векторные поля можно складывать поточечно:

(V+W)_x = V_x + W_x

и умножать на гладкие функции на M

(fV)_x = f(x)V_x,

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей \Gamma(TM) получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на M (обозначается C^\infty(M)).

Если f есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля X даёт новую гладкую функцию Xf. Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на M — это локальная сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве U из M, при этом в каждой точке из U задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на M образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над M.

Каноническое векторное поле на TM[править | править вики-текст]

На каждом касательном расслоении TM можно определить каноническое векторное поле. Если (x,\;y) — локальные координаты на TM, то векторное поле имеет вид

V=\left. y^i\frac{\partial}{\partial y^i}\right|_{(x,\;y)}.

V является отображением V\colon TM\to TTM.

Существование такого векторного поля на TM можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
  • John M. Lee Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3
  • Jurgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2
  • Todd Rowland Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.