Гипотеза Нагаты о кривых

Гипотеза Нагаты о кривых, названная именем Масаёси Нагаты, определяет минимальную степень, которую должна иметь плоская алгебраическая кривая, чтобы она проходила через набор точек общего вида с предписанными кратностями. Нагата пришёл к гипотезе во время работы над 14-ой проблемой Гильберта, которая спрашивает, является ли кольцо инвариантов для действия линейной группы на кольцо многочленов k[x₁, ..., x_n] над некоторым полем k конечнопорождённым. Нагата опубликовал гипотезу в статье 1959 года в журнале American Journal of Mathematics, в которой он привёл контрпример к 14-й гипотезе Гильберта.

Гипотеза Нагаты. Предположим, что p₁, ..., p_r являются точками в общем положении на P² и что m₁, ..., m_r — заданные положительные целые числа. Тогда для r > 9 любая кривая C в P², которая проходит через каждую точку p_i с кратностью m_i должна удовлетворять неравенству

$\deg C>{\frac {1}{\sqrt {r}}}\sum _{i=1}^{r}m_{i}.$

Единственный случай, для которого известно, что это неравенство выполняется, это когда r является полным квадратом, что доказал Нагата. Несмотря на большой интерес, остальные случаи остаются открытыми. Более современная формулировка гипотезы часто даётся в терминах констант Сешадри и обобщена на другие поверхности (под названием гипотезы Нагаты — Бирана).

Условие r > 9, как легко видеть, является необходимым. В зависимости от того, r > 9 или r ≤ 9, антиканоническое расслоение на раздутии P² в r точках будет неф-расслоением или нет.