Проективная плоскость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проективная пло́скость — двумерное проективное пространство.

Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет т. н. аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.

Определения[править | править вики-текст]

Проективная плоскость над телом[править | править вики-текст]

Проективная плоскость над телом K это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства K^3. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективная плоскость над телом K обычно обозначается K\mathrm{P}^2, например \R \mathrm{P}^2, \mathbb{C} \mathrm{P}^2, \mathbb{H} \mathrm{P}^2 и т. д..

Аксиоматическое определение[править | править вики-текст]

Аксиома Дезарга
Аксиома Паппа
Аксиома Фано

Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.

  • П1. Через две различные точки P и Q плоскости П проходит прямая, причём только одна.
  • П2. Любые две прямые имеют общую точку.
  • П3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
  • П4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек

Дополнительными аксиомами являются следующие:

  • П5. Аксиома Дезарга. Если треугольники ABC и A’B’C' таковы, что прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в точке O, то точки пересечения пар соответствующих сторон AB и A’B' (P), BC и B’C' (R), AC и A’C'(Q) лежат на одной прямой.
  • П6. Аксиома Паппа. Если l и l' две различные прямые, A,B,С — три различные точки на прямой l, а A',B',C'  — три различные точки l', причём все эти точки отличны от О — точки пересечения прямых l и l' , то точки пересечения пар соответствующих сторон AB' и A’B (P), BC' и B’C (R), AC' и A’C (Q) лежат на одной прямой.
  • П7. Аксиома Фано. Пусть A, B, C, D — точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки (AB, AC, AD, BC, BD, CD). Обозначим точку пересечения AB и CD через P, AC и BD через Q и AD и BC через R (диагональные точки). Эти диагональные точки не лежат на одной прямой.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом K.
  • Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1—П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.
  • Если выполняются аксиомы П1—П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П6 выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом K характеристики ≠2.

Топология вещественной проективной плоскости[править | править вики-текст]

Проективная плоскость как квадрат со склеенными сторонами
Проективная плоскость как круг с приклеенным листом Мёбиуса
Триангуляция проективной плоскости

Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке этот квадрат гомеоморфен кругу с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.

Цикл(полуокружность) от -x до x(обозначим его как a) не является границей, однако полная окружность от -x до x и от x до -x (обозначим его как 2a) уже ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости, поэтому 2a≈0, а a≠0 (знак равенства означает гомологичен или нет цикл нулю), то есть любой негомологичный нулю цикл, гомологичен циклу a. Поэтому одномерная группа гомологий состоит из двух элементов H1(P²)={0,1}, где нулевому элементу группы соответствуют одномерные циклы гомологичные нулю, а единице все циклы гомологичные a.

Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H0(P²) =Z , H1(P²)={0,1} и H2(P²)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b0=1, b1=1, b2=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b0-b1+b2=1 Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. нижний рисунок) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 10, значит χ(P²)=6-15+10=1.

Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.

Фундаментальная группа π1(P²)= Z2, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы πn(P²)=πn(S²) для n≥2.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Наука, 1969
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
  • Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966
  • Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: МГУ, 1998
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970