Задача Куратовского

Задача Куратовского — классическое упражнение в общей топологии, основанное на результате Казимира Куратовского.

Формулировки

Оригинальная

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и дополнения.

Вариация

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и внутренности.

Решение

Ответы в задачах соответственно 14 и 7. В обоих формулировках, максимальное число подмножеств достигается для следующего подмножества вещественной прямой с обычной топологией:

$(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},$

Для второй формулировки, максимальность следует из соотношений на замыкание $c$ и внутренность $i$

$cc(S)=c(S),$

$ii(S)=i(S),$

$icic(S)=ic(S),$

$cici(S)=ci(S).$

Последние два тождества легко следуют из первых двух и следующих двух соотношений:

если $A\subset B$, то $c(A)\subset c(B)$ и $i(A)\subset i(B)$.

Поскольку $i(S)^{\complement }=c(S^{\complement })$, то есть дополнение внутренности равно замыканию дополнения, максимальность в обоих формулировках эквивалентна.

Литература

• B. J. Gardner et Marcel Jackson, « The Kuratowski Closure-Complement Theorem »
• Mark Bowron « The Kuratowski Closure-Complement Problem »
• « Theorem of the day »