Инвариантная мера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем, мера \mu на пространстве (X,\Sigma) называется инвариантной для измеримого отображения f:(X,\Sigma)\to (X,\Sigma), если она совпадает со своим образом f_* \mu. В силу определения, это означает, что


\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение f^{-1} также измеримо в смысле (X,\Sigma), то эквивалентным является определение


\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности S^1 инвариантна относительно отображения удвоения x\mapsto 2x \mod 1, однако мера дуги [0,1/3] отлична от меры её образа [0,2/3].

Примеры[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]