Мера множества

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Мера.

Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий евклидовой длины, площади и $n$ -мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.

[править] Определения

[править] Конечно-аддитивная мера

Пусть задано пространство $X$ с выделенным классом подмножеств $\mathcal{F}$ , замкнутым относительно конечных пересечений и объединений.

Функция $\mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty]$ называется конечно-аддитивной мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

$\mu(\varnothing)=0$ .
Если $\{E_n\}_{n=1}^N\subset\mathcal{F}$ — конечное семейство попарно непересекающихся множеств из $\mathcal{F}$ , то есть $E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j$ , то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^N E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^N\mu(E_n).$

[править] Альтернативное определение

Система множеств $σ$ называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к $σ$ множества $A$ и $A_1\subset A$ вытекает возможность представления множества $A$ в виде объединения $A=\bigcup_{k=1}^n A_k$ , где $A k$ — попарно непересекающиеся множества из $σ$ , первое из которых есть заданное множество $A 1$ .

Функция множества $μ(A)$ называется мерой, если:

область определения $σ μ$ функции $μ(A)$ есть полукольцо множеств;
значения $\mu(A)\geqslant 0$ ;
$μ(A)$ — аддитивна, то есть для любого конечного разложения $A=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n$ , $A_i\cap A_j=\varnothing$ будет выполнено $\mu(A)=\sum_{k=1}^n\mu(A_k)$ .

[править] Счётно-аддитивная мера

Пусть задано пространство $X$ с выделенной $σ$ -алгеброй $\mathcal{F}$ .

Функция $\mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty]$ называется счётно-аддитивной (или $σ$ -аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

$\mu(\varnothing)=0.$
( $σ$ -аддитивность) Если $\{E_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из $\mathcal{F}$ , то есть $E_i\cap E_j=\varnothing,\;i\neq j$ , то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n)$ .

[править] Замечания

Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
Если мера всего пространства конечна, то есть $\mu(X)<\infty$ , то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.
На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с $σ$ -алгебры, порождаемой открытыми множествами, на множество всех подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры. Ни для одного из нетривиальных евклидовых пространств не существует какого-либо счётно-аддитивного расширения лебеговой меры на множество всех его подмножеств.

[править] Связанные определения

Тройка $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ называется пространством с мерой, если $(X,\;\mathcal{F})$ есть измеримое пространство, а $\mu:\mathcal{F}\to\R$ — определённая на нём мера.
Если $μ$ является вероятностной мерой, то такое пространство с мерой называется вероятностным пространством.