Измеримая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{F}) и (Y,\mathcal{G}) — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция f: X\to Y называется \mathcal{F} / \mathcal{G}-измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из \mathcal{G} принадлежит \mathcal{F}, то есть

\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},

где f^{-1}(B) означает полный прообраз множества B.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Если \,X и \,Yтопологические пространства, и алгебры \mathcal{F} и \mathcal{G} явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
  • Смысл данного определения в том, что если на множестве \,X задана мера, то данная функция индуцирует (передает) эту меру и на множество \,Y.

Вещественнозначные измеримые функции[править | править вики-текст]

Пусть дана функция f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})). Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

  • Функция f измерима, если
\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}.
  • Функция f измерима, если
\forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a \le b, имеем \{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F},

где |a,b| обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
  • Пусть f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})), и f(x) = \mathbf{1}_A(x),\;x\in Xиндикатор множества A \not\in \mathcal{F}. Тогда функция f не является измеримой.

История[править | править вики-текст]

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. Однако в диссертации Лебега (1902) теория меры была существенно обобщена до «меры Лебега». Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
  • Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
  • Xалмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.