Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}})$ и $(Y,{\mathcal {G}})$ — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция $f:X\to Y$ называется ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$-измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из ${\mathcal {G}}$ принадлежит ${\mathcal {F}}$, то есть

$$\forall B\in {\mathcal {G}},\;\{x\colon f(x)\in B\}\in {\mathcal {F}}.$$

Замечания

• Если $X$ и $Y$ — топологические пространства, и алгебры ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {G}}$ явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
• Смысл данного определения в том, что если на множестве $X$ задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество $Y$.

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

• Функция $f$ измерима, если

  $\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\ >c\}\in {\mathcal {F}}$.

• Функция $f$ измерима, если

  $\forall a,b\in \mathbb {R}$, таких что $a\leq b$, имеем $\{x\in X\mid f(x)\in \langle a,b\rangle \}\in {\mathcal {F}}$,

где $\langle a,b\rangle$ обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения

• Пусть $(X,{\mathcal {F}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ и $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ называется борелевской.
• Измеримая функция $f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$, где $\Omega$ — множество элементарных исходов, а ${\mathcal {F}}$ — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Примеры

• Пусть $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
• Пусть $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )),$ и $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x),\;x\in X$ — индикатор множества $A\not \in {\mathcal {F}}.$ Тогда функция $f$ не является измеримой.

Свойства

• Теорема Лузина. Функция $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ измерима тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существует непрерывная функция $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ отличающаяся от $f$ на множестве меры не больше $\varepsilon$.

История

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
• Медведев Ф. А. К истории понятия измеримой функции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 481-492.
• Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.