Карта и атлас

Карта и атлас — понятия дифференциальной геометрии, позволяющие ввести на многообразии гладкую структуру.

Определения

Пусть K — числовое поле (например $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$), X — топологическое пространство.

• Карта — это пара (U,f), где

U — открытое множество в X

f — гомеоморфизм из U в открытое множество в Kⁿ

• Если области определения двух карт $\,(U_1,f_1)$ и $\,(U_2,f_2)$ пересекаются ($U_1 \cap U_2 \neq \emptyset$), то между множествами $f_1^{-1}(U_2)$ и $f_2^{-1}(U_1)$ имеются взаимно обратные отображения (гомоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :

  $\begin{matrix} f_{12}= f_1\circ f_2^{-1}|_{f_2(U_1 \cap U_2)} &: \ f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 \cap U_2) \\ f_{21}= f_2\circ f_1^{-1}|_{f_1(U_1 \cap U_2)} &: \ f_1(U_1 \cap U_2) \to f_2(U_1 \cap U_2) \end{matrix}$

• Атлас — это множество согласованных карт $\,\{(U_\alpha,f_\alpha)\}$, $\alpha\in\mathcal A$, такое, что $\,\{U_\alpha\}$ образует покрытие пространства X. Здесь $\mathcal A$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса $\,C^k$) или аналитическим, если функции замены координат $\,f_{\alpha_1\,\alpha_2}$ для всех карт гладкие (класса $\,C^k$) или аналитические.

Связанные определения

• Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.