Гомеоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Не следует путать с термином «гомоморфизм».

Классический пример гомеоморфизма: кружка и бублик топологически эквивалентны

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

[править] Определение

Пусть $(X,\mathcal{T}_X)$ и $(Y,\mathcal{T}_Y)$ — два топологических пространства. Функция $f:X \to Y$ называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также $f$ и $f - 1$ непрерывны.

Пространства $X$ и $Y$ в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.

[править] Теорема о гомеоморфизме

Пусть $|a,b|\subset \mathbb{R}$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R$ — биекция. Тогда $f$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ строго монотонна и непрерывна на $| a, b | .$

[править] Пример

Произвольный открытый интервал $(a,b) \subset \mathbb{R}$ гомеоморфен всей числовой прямой $\mathbb{R}$ . Гомеоморфизм $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ задаётся, например, формулой