Гомеоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Классический пример гомеоморфизма: кружка и тор топологически эквивалентны

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) — взаимно-однозначное и непрерывное отображение топологических пространств, обратное к которому тоже непрерывно. Изоморфизм в категории топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств (в силу непрерывности биекции, образы и прообразы отображения являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств).

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология, в общем виде, изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{T}_X) и (Y,\mathcal{T}_Y) — два топологических пространства. Функция f:X \to Y называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f и f^{-1} непрерывны.

Пространства X и Y в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.

Теорема о гомеоморфизме[править | править вики-текст]

Пусть |a,b|\subset \mathbb{R} — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R — биекция. Тогда f является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда f строго монотонна и непрерывна на |a,b|.

Пример[править | править вики-текст]

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]