Открытое множество

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры).

Евклидово пространство

Пусть $U \subset \mathbb{R}^n$ есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда $U$ называется открытым, если $\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,$ такое что $V_{\varepsilon}(x_0) \subset U$, где $V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \left\{x \in \mathbb{R}^n:\|x - x_0 \| < \varepsilon\right\}$ — ε-окрестность точки $x_0.$ Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство

Пусть $(X,\rho)$ — некоторое метрическое пространство, и $U \subset X$. Тогда $U$ называется открытым, если $\forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0,$ такое что $V_{\varepsilon}(x_0) \subset U$, где $V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < \varepsilon\}$ — ε-окрестность точки $x_0$ относительно метрики $\rho$.

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств $\mathcal{T}$ — «топологию», определённую на $X$. Подмножество $U \subset X$, такое, что оно является элементом топологии (то есть $U \in \mathcal{T}$), называется открытым множеством относительно топологии $\mathcal{T}$.

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество $G$  содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества $G$ .

См. также

• Замкнутое множество
• Граница подмножества