Открытое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Откры́тое мно́жество в математическом анализе, геометрии — это множество, каждая точка которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество также является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). ^{[1] [2]}

Содержание 1 Евклидово пространство 2 Метрическое пространство 3 Топологическое пространство 4 См. также 5 Сноски

[править] Евклидово пространство

Пусть есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда U называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки x₀. Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

[править] Метрическое пространство

Пусть (X,ρ) — некоторое метрическое пространство, и . Тогда U называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки x₀ относительно метрики ρ.

[править] Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств — «топологию», определённую на X. Подмножество , такое, что оно является элементом топологии (то есть ), называется открытым множеством относительно топологии .

[править] См. также

• Замкнутое множество
• Граница подмножества

[править] Сноски