Квадратичный закон взаимности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.

Формулировка[править | править вики-текст]

Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утвеждает, что

\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^\frac{(p-1)(q-1)}4

где р и q — различные нечётные простые числа.

Также справедливы следующие дополнения:

\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2     и     \left(\frac 2p\right)=(-1)^\frac{p^2-1}8.

Применения[править | править вики-текст]

  • Следующий факт, известный ещё Ферма: простыми делителями чисел x^2+1 могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии
    4k+1.
Другими словами, сравнение
~x^2+1\equiv0\pmod{p}
по простому модулю p>2 разрешимо в том и только в том случае, когда ~p \equiv 1\pmod4. С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:
\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^\frac{p-1}2.
  • Вопрос о разрешимости сравнения
    ax^2+bx+c\equiv 0 \pmod{p}
решается алгоритмом с использованием мультипликативности символа Лежандра и квадратичного закона взаимности.

История[править | править вики-текст]

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру в 1783 году[1] Лежандр сформулировал закон независимо от Эйлера и доказал его в некоторых частных случаях в 1785 году. Полное доказательство было получено Гауссом в 1796 году, который впоследствии дал несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

Одно из самых простых доказательств было предложено Золотарёвым в 1872 году.[2][3][4]

В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности[5].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.
  2. Zolotareff G. (1872). «Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre». Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série 11: 354—362.
  3. Прасолов В. В. Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву // Математическое просвещение. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.
  4. Горин Е. А. Перестановки и квадратичный закон взаимности по Золотареву-Фробениусу-Руссо // Чебышевский сборник. — 2013. — В. 4. — Т. 14. — С. 80-94.
  5. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.