Компактификация Волмэна — Шанина

Компактификация Волмэна — Шанина — это компактификация топологических пространств $T_{1}$, которую построил Волмэн.

Определение

Точками компактификации ${\omega }X$ Волмэна пространства X являются максимальные собственные фильтры в частично упорядоченном множестве замкнутых подмножеств X. В явном виде, точка множества ${\omega }X$ — это семейство ${\mathcal {F}}$ замкнутых непустых подмножеств множества X, таких что ${\mathcal {F}}$ замкнуто онтосительно конечных пересевений и максимально среди всех семейств, обладающих такими свойствами. Для любого закрытого подмножества F из X класс $\Phi _{F}$ точек ${\omega }X$, содержащих F замкнут в ${\omega }X$. Топология ${\omega }X$ порождается этими замкнутыми классами. Множество ${\omega }X$ с порождённой топологией называется расширением Волмэна пространства X.

Теорема: Для каждого $T_{1}$ пространства X его волмэновское расширение ${\omega }X$ является компактным $T_{1}$ пространством, содержащим X в качестве всюду плотного подпространства, причём каждое непрерывное отображение $f\colon X\to Z$ пространства X в произвольный компакт Z можно продолжить до непрерывного отображения $F\colon {\omega }X\to Z$.

Специальные случаи

Теорема: Волмэновское расширение ${\omega }X$ пространства X является хаусдорфорвым пространством в том и только в том случае, если X нормально.

Следствие: Если пространство X нормально, то его волмэновское расширение ${\omega }X$ является компактификацией пространства X, эквивалентной стоун-чеховской компактификации этого пространства.

См также

• Решётка (алгебра)
• Бесточечная топология