Критерий согласия Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова или Критерий согласия Колмогорова-Смирнова — статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Носит имена математиков Андрея Николаевича Колмогорова и Николая Васильевича Смирнова.

Критерий Колмогорова-Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических критериев, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Статистика

Эмпирическая функция распределения (ЭФР) $F_n\!$ случайной величины $\xi\!$, построенная по выборке $X=\left(X_1,\;\ldots,\;X_n\right)$ $(X_i\in\mathbb{X})$, имеет вид:

$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I_{X_i\leqslant x},\!$

где $I_{X_i\leqslant x}\!$ указывает, попало ли наблюдение $X_i$ в область $(-\infty,\;x]\!$:

$I_{X_i\leqslant x}=\begin{cases}1, & X_i\leqslant x; \\ 0, & X_i>x.\end{cases}\!$

Статистика критерия для эмпирической функции распределения $F_n(x)\!$ определяется следующим образом:

$D_n=\sup_x |F_n(x)-F(x)|,\!$

где $\sup S\!$ — точная верхняя грань множества $S={|F_n(x)-F(x)|}\!$, $F$ - предполагаемая модель.

Критерий

Обозначим нулевую гипотезу $H_0\!$, как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению $F(X)\in C^1(\mathbb{X})\!$. Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

$\forall t>0\colon\lim_{n\to\infty}P(\sqrt{n}D_n\leqslant t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j e^{-2j^2t^2}.\!$

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.

Правило (параметрический критерий Колмогорова). Если статистика $\sqrt{n}D_n\!$ превышает процентную точку распределения Колмогорова $K_\alpha\!$ заданного уровня значимости $\alpha\!$, то нулевая гипотеза $H_0\!$ (о соответствии закону $F(x)\!$) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне $\alpha\!$.

Если $\alpha$ достаточно близко к 1, то $K_\alpha\!$ можно приблизительно рассчитать по формуле:

$K_\alpha\approx\sqrt{-\frac{1}{2}\ln\frac{1-\alpha}{2}}.\!$

Асимптотическая мощность критерия равна 1.

---

Обозначим теперь за нулевую гипотезу $H_0\!$ гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины $\xi\colon F(X)\in C^1(\mathbb{X})\!$.

Теорема Смирнова. Пусть $F_{1,\;n}(x),\;F_{2,\;m}(x)\!$ — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом $n$ и $m$ случайной величины $\xi$. Тогда, если $F(x)\in C^1(\mathbb{X})$, то $\forall t>0\colon\lim_{n,\;m\to\infty}P\left(\sqrt{\frac{nm}{n+m}}D_{n,\;m}\leqslant t\right)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j e^{-2j^2t^2}$, где $D_{n,\;m}=\sup_x|F_{1,\;n}-F_{2,\;m}|$.

Теорема Смирнова позволяет использовать данный критерий для проверки двух выборок на однородность.

Правило (непараметрический критерий Колмогорова). Если статистика $\sqrt{\frac{nm}{n+m}}D_{n,\;m}\!$ превышает квантиль распределения Колмогорова $K_{\alpha}\!$ для заданного уровня значимости $\alpha\!$, то нулевая гипотеза $H_0\!$ (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне $\alpha\!$.

См. также

• Проверка статистических гипотез
• Статистический критерий
  • Q-критерий Розенбаума
  • U-критерий Манна — Уитни
  • t-критерий Стьюдента
  • Критерий отношения правдоподобия
  • Критерий Пирсона

Ссылки

• Критерий Колмогорова на сайте Новосибирского государственного университета
• Об ошибках, совершаемых при использовании непараметрических критериев согласия
• Непараметрические критерии согласия (Рекомендации Р 50.1.037-2002 на сайте Новосибирского государственного технического университета)
• Уточнение рекомендаций Р 50.1.037-2002 (Часть 1) на сайте НГТУ
• Уточнение рекомендаций Р 50.1.037-2002 (Часть 2) на сайте НГТУ
• Критерий однородности Смирнова на сайте Новосибирского государственного технического университета