Функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Кумуляти́вная фу́нкция распределе́ния (или просто функция распределения) в теории вероятностей однозначно задаёт распределение случайной величины или случайного вектора.

Содержание

1 Определение
2 Простейшие свойства
3 Взаимо-однозначное соответствие распределению
4 Вычисление вероятностей
- 4.1 Левый предел
- 4.2 Простейшие формулы
5 Дискретные распределения
6 Непрерывные распределения
7 Абсолютно непрерывные распределения
8 Многомерные функции распределения
9 См. также

[править] Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , и на нём определена случайная величина $X$ с распределением $\mathbb{P}^X$ . Тогда функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F_X:\mathbb{R} \to [0,1]$ , задаваемая формулой:

$F_X(x) = \mathbb{P}( X \le x ) \equiv \mathbb{P}^X((-\infty, x] )$ .

[править] Простейшие свойства

$F X$ не убывает на всей числовой прямой.
$F X$ непрерывна справа.
$\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ .
$\lim\limits_{x \to \infty} F_X(x) = 1$ .

[править] Взаимо-однозначное соответствие распределению

Очевидно, что распределение случайной величины $\mathbb{P}^X$ однозначно определяет функцию распределения. Верно и обратное: если функция $F (x)$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F (x)$ является её функцией распределения.

[править] Вычисление вероятностей

[править] Левый предел

По определению непрерывности справа, функция $F X$ имеет правый предел $F X (x + )$ в любой точке $x\in \mathbb{R}$ , и он совпадает со значением функции $F X (x)$ в этой точке. В силу неубывания, функция $F X$ также имеет и левый предел $F X (x - )$ в любой точке $x\in \mathbb{R}$ , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $F X$ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

[править] Простейшие формулы

Из свойств вероятности следует, что $\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}$ , таких что $a < b$ :

$\mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x)$ ;
$\mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-)$ ;
$\mathbb{P}(X \ge x ) = 1 - F_X(x-)$ ;
$\mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-)$ ;
$\mathbb{P}(a < X \le b ) = F_X(b) - F_X(a)$ ;
$\mathbb{P}(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a-)$ ;
$\mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a)$ ;
$\mathbb{P}(a \le X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-)$ .

[править] Дискретные распределения

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots$ ,

то функция распределения $F X$ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

$F_X(x) = \sum\limits_{i: x_i \leq x} p_i$ .

Эта функция непрерывна в любой точке $x\in \mathbb{R}$ , такой что $x \not= x_i,\; \forall i$ , и имеет разрыв, равный $p i$ , в $x = x i$ .

[править] Непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется непрерывным, если такова его функция распределения $F X$ . В этом случае:

$\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}$ ,

$F_X(x-) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}$ ,

а следовательно формулы, приведённые выше, имеют вид:

$\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)$ ,

где $| a, b |$ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

[править] Абсолютно непрерывные распределения

Распределение $\mathbb{P}^X$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $f X (x)$ , такая что:

$F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t)\, dt$ .

Функция $f X$ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и более того если $f_X \in C(\mathbb{R})$ , то $F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , и

$\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}$ .

[править] Многомерные функции распределения

Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ фиксированное вероятностное пространство, и $X=(X_1,\ldots,X_n): \Omega \to \mathbb{R}^N$ - случайный вектор. Тогда распределение $\mathbb{P}^X$ является вероятностной мерой на $\mathbb{R}^n$ . Функция этого распределения $F_X: \mathbb{R}^n \to [0,1]$ задаётся по определению следующим образом:

$F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \le x_1 ,\ldots, X_n \le x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right)$ ,

где $\prod$ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на $\mathbb{R}^n$ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $n > 1$ .