Функция распределения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано вероятностное пространство (\R,\mathcal{F},\mathbb{P}), и на нём определена случайная величина X с распределением \mathbb{P}^X. Тогда функцией распределения случайной величины X называется функция F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1], задаваемая формулой:

F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x]\right).

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x) , значение которой в точке x равно вероятности события \{X \leqslant x\}, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых X(\omega) \leqslant x.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Распределение случайной величины \mathbb{P}^X однозначно определяет функцию распределения.
    • Верно и обратное: если функция F(x) удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что F(x) является её функцией распределения.
  • По определению непрерывности справа, функция F_X имеет правый предел F_X(x+) в любой точке x\in \mathbb{R}, и он совпадает со значением функции F_X(x) в этой точке.
    • В силу неубывания, функция F_X также имеет и левый предел F_X(x-) в любой точке x\in \mathbb{R}, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция F_X либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества[править | править вики-текст]

Из свойств вероятности следует, что \forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a < b:

  • \mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x);
  • \mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-);
  • \mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-);
  • \mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-);
  • \mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-);
  • \mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a);
  • \mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-);

Дискретные распределения[править | править вики-текст]

Если случайная величина X дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots,

то функция распределения F_X этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i.

Эта функция непрерывна во всех точках x\in \mathbb{R}, таких что x \not= x_i,\; \forall i, и имеет разрыв первого рода в точках x = x_i,\; \forall i.

Непрерывные распределения[править | править вики-текст]

Распределение \mathbb{P}^X называется непрерывным, если такова его функция распределения F_X. В этом случае:

\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R},

и

F_X(x-0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R},

а следовательно формулы имеют вид:

\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a),

где |a,b| означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения[править | править вики-текст]

Распределение \mathbb{P}^X называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция f_X(x), такая что:

F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt.

Функция f_X называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если f_X \in C(\mathbb{R}), то F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), и

\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right).

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.


Многомерные функции распределения[править | править вики-текст]

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) фиксированное вероятностное пространство, и X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^N — случайный вектор. Тогда распределение \mathbb{P}^X, называемое распределением случайного вектора X \, или совместным распределением случайных величин X_1,\ldots,X_n, является вероятностной мерой на \mathbb{R}^n. Функция этого распределения F_X\colon\mathbb{R}^n \to [0,1] задаётся по определению следующим образом:

F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leqslant x_1 ,\ldots, X_n \leqslant x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right),

где \prod в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на \mathbb{R}^n и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для n > 1.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — С. 45, 166.