Проверка статистических гипотез

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Проверки статистических гипотез - класс базовых задач в математической статистике.

Содержание

1 Статистические гипотезы
- 1.1 Определения
- 1.2 Пример
2 Этапы проверки статистических гипотез
3 Виды критической области
4 Ссылки
5 См. также

[править] Статистические гипотезы

[править] Определения

Пусть дана выборка $\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)$ из неизвестного совместного распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ . Тогда любое утверждение, касающееся природы $\mathbb{P}^{\mathbf{X}},$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ , то есть $H:\;\{\mathbb{P}^{\mathbf{X}} = \mathbb{P}_0\}$ , где $\mathbb{P}_0$ какой-то конкретный закон, называется простой.

Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения $\mathbb{P}^{\mathbf{X}}$ к некоторому семейству распределений, то есть вида $H:\;\{\mathbb{P}^{\mathbf{X}} \in \mathcal{P}\}$ , где $\mathcal{P}$ - семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу $H 0$ . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза $H 1$ , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

[править] Пример

Пусть дана независимая выборка $(X_1,\ldots,X_n) \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ из нормального распределения, где $μ$ — неизвестный параметр. Тогда $H_0:\;\{\mu = \mu_0\}$ , где $μ 0$ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней $H_1:\;\{\mu > \mu_0\}$ — сложной.

[править] Этапы проверки статистических гипотез

Формулировка основной гипотезы $H 0$ и конкурирующей гипотезы $H 1$ . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.
Задание вероятности $α$ , называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.
Расчёт статистики φ критерия такой, что:
- её величина зависит от исходной выборки $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n): \; \phi=\phi(X_1,\ldots,X_n)$ ;
- по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы $H 0$ ;
- сама статистика $φ$ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. сама $φ$ является случайной в силу случайности $\mathbf{X}$ .
Построение критической области. Из области значений $φ$ выделяется подмножество $\mathbb{C}$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство $P(\phi\in\mathbb{C})=\alpha$ . Это множество $\mathbb{C}$ и называется критической областью.
Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику $φ$ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область $\mathbb{C}$ выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы $H 0$ .

[править] Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами $(-\infty,\;x_{\alpha/2})\cup(x_{1-\alpha/2}\;+\infty)$ , где $x_{\alpha/2},\; x_{1-\alpha/2}$ находят из условий $P(\phi<x_{\alpha/2})=\frac{\alpha}{2}, \quad P(\phi<x_{1-\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}$ .
Левосторонняя критическая область определяется интервалом $(-\infty,\; x_\alpha)$ , где $x α$ находят из условия $P (φ < x α) = α$ .
Правосторонняя критическая область определяется интервалом $(x_\alpha,\;+\infty)$ , где $x α$ находят из условия $P (φ > x α) = α$ .

[править] Ссылки

[править] См. также

Статистические критерии:
Ниже для помощи в навигации приведён список статистических критериев.
(список далеко не полный и не все из перечисленных статей существуют на данный момент; вы можете помочь проекту, создав статью из списка или добавив новую)

Проверка статистических гипотез

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Статистические гипотезы

[править] Определения

[править] Пример

[править] Этапы проверки статистических гипотез

[править] Виды критической области

[править] Ссылки

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках