Проверка статистических гипотез

Проверки статистических гипотез — один из классов задач в математической статистике.

Статистические гипотезы

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина $X$, распределение которой $\mathbb{P}$ известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся $\mathbb{P},$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение $\mathbb{P}$, то есть $H:\;\{\mathbb{P}= \mathbb{P}_0\}$, где $\mathbb{P}_0$ какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения $\mathbb{P}$ к некоторому семейству распределений, то есть вида $H:\;\{\mathbb{P}\in \mathcal{P}\}$, где $\mathcal{P}$ — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу $H_0$. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза $H_1$, называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ фиксированного объема $n\geq 1$ из распределения $\mathbb P$. В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример

Пусть дана независимая выборка $(X_1,\ldots,X_n) \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ из нормального распределения, где $\mu$ — неизвестный параметр. Тогда $H_0:\;\{\mu = \mu_0\}$, где $\mu_0$ — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней $H_1:\;\{\mu > \mu_0\}$ — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы $H_0$ и конкурирующей гипотезы $H_1$. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.
2. Задание уровня значимости $\alpha$, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
3. Расчёт статистики $\phi$ критерия такой, что:
   • её величина зависит от исходной выборки $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n): \; \phi=\phi(X_1,\ldots,X_n)$;
   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы $H_0$;
   • сама статистика $\phi$ должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама $\phi$ является случайной в силу случайности $\mathbf{X}$.
4. Построение критической области. Из области значений $\phi$ выделяется подмножество $\mathbb{C}$ таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство $P(\phi\in\mathbb{C})=\alpha$. Это множество $\mathbb{C}$ и называется критической областью.
5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику $\phi$ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область $\mathbb{C}$ выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы $H_0$.

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами $(-\infty,\;x_{\alpha/2})\cup(x_{1-\alpha/2}\;+\infty)$, где $x_{\alpha/2},\; x_{1-\alpha/2}$ находят из условий $P(\phi<x_{\alpha/2})=\frac{\alpha}{2}, \quad P(\phi<x_{1-\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}$.
• Левосторонняя критическая область определяется интервалом $(-\infty,\; x_\alpha)$, где $x_\alpha$ находят из условия $P(\phi<x_\alpha)=\alpha$.
• Правосторонняя критическая область определяется интервалом $(x_{1-\alpha},\;+\infty)$, где $x_{1-\alpha}$ находят из условия $P(\phi<x_{1-\alpha})=1-\alpha$.

См. также

• Ошибки первого и второго рода
• Статистический критерий
• Уровень значимости

Статистические критерии: Ниже для помощи в навигации приведён список статистических критериев. (список далеко не полный и не все из перечисленных статей существуют на данный момент; вы можете помочь проекту, создав статью из списка или добавив новую)

F-критерий | Q-критерий Розенбаума | t-критерий Стьюдента | U-критерий Манна-Уитни | Z-критерий | Критерий Бартлетта | Критерий Колмогорова | Критерий Кохрена | Критерий отношения правдоподобия | Критерий Пирсона | Критерий Уилкоксона | Критерий Фридмана | Критерий знаков