Лемма Бореля — Кантелли

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающейся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая лемма

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ и последовательность событий $\{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$. Обозначим

$A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m \right)$.

Тогда если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ сходится, то $\mathbb{P}(A) = 0$.

Вторая лемма

Если все события $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ совместно независимы, и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ расходится, то $\mathbb{P}(A) = 1$.

Замечание

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

См. также

• Закон нуля или единицы;
• Теорема о бесконечных обезьянах;
• Борель, Эмиль;
• Кантелли, Франческо Паоло.