Лемма Бореля — Кантелли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая лемма[править | править вики-текст]

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) и последовательность событий \{A_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}. Обозначим

A = \limsup\limits_{n \to \infty} A_n \equiv \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( \bigcup\limits_{m=n}^{\infty} A_m \right).

Тогда если ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) сходится, то \mathbb{P}(A) = 0.

Вторая лемма[править | править вики-текст]

Если все события \{A_n\}_{n=1}^{\infty} совместно независимы, и ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}\left(A_n\right) расходится, то \mathbb{P}(A) = 1.

Замечание[править | править вики-текст]

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

См. также[править | править вики-текст]