Матрица Тёплица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре, матрица Тёплица, или диагонально-постоянная матрица, названная в честь немецкого математика Отто Тёплица — это матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы.

В общем виде матрица Теплица размера n\times n имеет вид:

A=\begin{bmatrix}
  a_0 & a_{-1} & a_{-2} & \ldots & \ldots  &a_{-n+1}  \\
  a_1 & a_0  & a_{-1} &  \ddots   &  &  \vdots \\
  a_2 & a_1 & \ddots  & \ddots & \ddots& \vdots \\ 
 \vdots &  \ddots & \ddots &   \ddots  & a_{-1} & a_{-2}\\
 \vdots &         & \ddots & a_1 & a_0 &  a_{-1} \\
a_{n-1} &  \ldots & \ldots & a_2 & a_1 & a_0
\end{bmatrix}.

То есть выполняется соотношение:

a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}.

Замечания[править | править вики-текст]

Две матрицы Тёплица можно сложить за \Theta(n) операций. Матрицу Теплица можно умножить на вектор за \Theta(n\log n) операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за \Theta(n^2) операций.

Система линейных уравнений вида Ax=b может быть решена методом Левинсона за время \Theta(n^2).[1]

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье, потому что оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Krishna, H.; Wang, Y. (1993). «The Split Levinson Algorithm is Weakly Stable». SIAM Journal on Numerical Analysis 30 (5): 1498–1508. DOI:10.1137/0730078.

Ссылки[править | править вики-текст]