Метод Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Ломаная Эйлера (красная линия) — приближённое решение в пяти узлах задачи Коши и точное решение этой задачи (выделено синим цветом)

Описание метода[править | править вики-текст]

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка


\frac{dy}{dx}=f(x,y),


y_{|_{x=x_0}}=y_0,

где функция f определена на некоторой области D\subset R^2. Решение ищется на интервале (x_0,b]. На этом интервале введем узлы

x_0<x_1<\dots<x_n\le b.

Приближенное решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле


y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1}),\quad i=1,2,3,\dots,n.

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности[править | править вики-текст]

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция f непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной y в D, то имеет место следующая оценка погрешности


\left|y(x_i)-y_i\right|=O(h),

где h — средний шаг, то есть существует C>0 такая, что C^{-1}\le (x_i-x_{i-1})/h\le C.

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение метода Эйлера[править | править вики-текст]

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом[править | править вики-текст]

Вычисления по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.

Прогноз:

\tilde y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1}).

Коррекция:

y_i=y_{i-1}+(x_i-x_{i-1})\frac{f(x_{i-1},y_{i-1})+f(x_i,\tilde y_i)}{2}.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. [1]
  • Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Эйлер Л. Интегральное исчисление, том 1, раздел 2, гл. 7.