Минимальная логика

Минимальная логика — это специальная логическая система, в которой при операциях с высказываниями не применяется ни закон исключённого третьего, ни то следствие, вытекающее из закона противоречия, по которому из противоречия следует всё что угодно.

С точки зрения всеобщей применимости минимальная логика является результатом пересмотра, принципов классической логики.

Логические символы

Знак → означает союз «Если…, то…», знак & означает союз «и», знак ∨ — означает союз «или» в соединительно-разделительном смысле, ¬B — означает отрицание В.

Схемы аксиом

Минимальное исчисление высказываний, согласно Ю. А. Гастеву, определяется следующими схемами аксиом:

1) A → (B → A),

2) (A → В) → ((А → (В → С) → (А → С)),

3) А → (В → А & В),

4) (A & B) → A,

5) (А & В) → В,

6) А → (А ∨ В),

7) В → (А ∨ В),

8) (А → С) → ((В → С) → (А ∨ В → С)),

В минимальном исчислении высказываний можно доказать от противного отрицательные предложения, опираясь на «закон приведения к абсурду»:

9) (А → В) → ((А → ¬В) → ¬А).

Также как и в классической логике минимальное исчисление высказываний всегда может быть расширено до минимального исчисления предикатов. Такие системы описаны в качестве логической базы метатеории во многих работах по ультраинтуиционистскому обоснованию математики, а также в работах по искусственному интеллекту.

Правила вывода

1. Modus ponens: ${\frac {A,\;(A\to B)}{B}}$.

См. также

• Интуиционистское исчисление высказываний
• Интуиционизм
• Конструктивная логика

Литература

• Бирюков Б. В. Трудные времена философии. Юрий Алексеевич Гастев: Философско-логические работы и «диссидентская» деятельность. М.: Либроком, 2010
• Гейтинг А. Интуиционизм. — М., 1965.
• Гастев Ю. Минимальная логика. — Философская энциклопедия т.3 стр.446 -М.
• Гастев Ю. Гомоморфизмы и модели. Логико-алгебраические аспекты моделирования. — М.: Наука, 1975. (2-е изд, испр. и доп. — М.: Либроком, 2009. — ISBN 978-5-397-00585-2.)
• Клини С. К. Введение в метаматематику. — М., 1957.
• Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. — М., 1977.
• Драгалин А. Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. — М., 1979.
• H. H. Непейвода. Интуиционистская логика // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.