Минимизирующая последовательность

Минимизирующая последовательность — конструкция, используемая в вариационном исчислении и математической оптимизации для задачи нахождения минимального значения функции (функционала) и задачи отыскания элемента, на котором функция принимает минимальное значение.

Формально, последовательность $\{x_{i}\}$ ( $x_{i}\in M$ ) для непрерывной функции $f$ , определённой на множестве $M$ , называется минимизирующей, если последовательность значений $\{f(x_{i})\}$ стремится к точной нижней грани значений данной функции на $M$ :

\lim _{i\to \infty }f(x_{n})=\inf _{x\in M}f(x)

.

Минимизирующие последовательности не обязательно сходятся к элементу $x^{\star }$ , в котором достигается минимум $\inf f(x)=f(x^{\star })$ , то есть $lim_{i\to \infty }{x_{i}}\neq x^{\star }$ в общем случае. Если же всякая минимизирующая последовательность сходится к элементу $x^{\star }$ , то задача минимизации функции $f$ на $M$ называется устойчивой. Методы решения устойчивых задач минимизации с использованием минимизирующих последовательностей подразделяются на три класса: прямые (не используют производные функции), методы спуска (использующие первые производные, например, метод градиентного спуска), и алгоритмы с использованием производных высших порядков.