Модули римановой поверхности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Модули римановой поверхности — численные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности.

Мотивация[править | править исходный текст]

Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно теореме Римана все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу: каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же каноническую область, в качестве которой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности n, n>2, точного эквивалента теоремы Римана не существует: нельзя указать какую-либо фиксированную область, на которую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонической n-связной области, которое указывает общую геометрическую структуру этой области, но не фиксирует её модулей.

Примеры[править | править исходный текст]

  • конформные классы компактных римановых поверхностей рода g>1 характеризуются 6g-6 действительными модулями;
  • тор (g=1) характеризуется двумя модулями;
  • n-связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при n>3 характеризуется 3n-6 модулями.
  • Каждая двусвязная область D плоскости z с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на некоторое круговое кольцо
r<|z|<R, 0<r<R<\infty.
Отношение R/r радиусов граничных окружностей этого кольца является конформным инвариантом и называется модулем двусвязной области D.