Модули римановой поверхности

Модули римановой поверхности — численные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности.

Мотивация

Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно теореме Римана все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу: каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же каноническую область, в качестве которой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности $n$, $n>2$, точного эквивалента теоремы Римана не существует: нельзя указать какую-либо фиксированную область, на которую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонической $n$-связной области, которое указывает общую геометрическую структуру этой области, но не фиксирует её модулей.

Примеры

• конформные классы компактных римановых поверхностей рода $g>1$ характеризуются $6g-6$ действительными модулями;
• тор ($g=1$) характеризуется двумя модулями;
• $n$-связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при $n>3$ характеризуется $3n-6$ модулями.
• Каждая двусвязная область $D$ плоскости $z$ с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на некоторое круговое кольцо

$r<|z|<R$, $0<r<R<\infty$.

Отношение $R/r$ радиусов граничных окружностей этого кольца является конформным инвариантом и называется модулем двусвязной области $D$.

Литература

• Модули римановой поверхности — статья из Математической энциклопедии. Г. В. Кузьмина, Е. Д. Соломенцев