Тор (поверхность)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Красным — образующая окружность

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через её центр. При этом ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом.

История[править | править исходный текст]

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Ось тора[править | править исходный текст]

Ось тора может лежать вне образующей окружности либо касаться её.

Уравнения[править | править исходный текст]

Torus 3d.png

Параметрическое[править | править исходный текст]

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

  • 
\left\{
\begin{matrix}
x(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \cos \psi \\
y(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \varphi) \sin \psi \\
z(\varphi,\psi) = & r \sin \varphi \\
\end{matrix}
\right.
\qquad \varphi, \psi \in [0;2\pi)

Алгебраическое[править | править исходный текст]

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

\left( x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 \right)^2-4R^2\left(x^2+y^2\right)=0

В частности, тор является поверхностью четвёртого порядка.

Свойства[править | править исходный текст]

Этапы выворачивания тора
Вариант окраски участков тора

Сечения[править | править исходный текст]

Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся окружности Вилларсо
Сечения
  • При сечении тора бикасательной плоскостью, получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
    • В частности открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
  • Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея[3] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
  • Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка[4].

Многомерный тор[править | править исходный текст]

Стереографическая проекция

Обобщением 3x-мерного тора является многомерный тор (также n-тор или гипертор):

\mathbf{T}^n = \underbrace{S^1 \times \cdots \times S^1}_n.

Литература[править | править исходный текст]

  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
  2. Подробности приведены в статьей М. Гарднера в Scientific American за март 1977 Другие парадоксы, связанные с торами можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
  3. Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
  4. Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения