Модулярная решётка

Модулярная решётка (дедекиндова решётка) — решётка, в которой каждая пара элементов $a,b\in L$ модулярна, то есть справедлив закон модулярности — квазитождество:

$\forall x\in L:x\leqslant b\Rightarrow x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b$.

Важнейший пример модулярной решётки — решётка подпространств векторного пространства; также модулярны решётка нормальных подгрупп группы, решётка идеалов кольца.

Любая дистрибутивная решётка является модулярной, обратное неверно: ромб (диамант) — пример модулярной решётки, которая не является дистрибутивной.

$N_{5}$ — наименьшая немодулярная решётка

Наименьшая немодулярная решётка — пятиэлементный пентагон $N_{5}$, любая немодулярная решётка содержит его в качестве подрешётки.

В модулярных решётках справедлива теорема об изоморфизмах интервалов: для любых двух элементов модулярной решётки $a$ и $b$ интервалы $[a\wedge b,b]$ и $[a,a\vee b]$ изоморфны, прямое отображение: $\phi (x)=x\vee a$, обратное — $\psi (y)=y\wedge b$.

Немодулярная решётка может содержать элементы, удовлетворяющие закону модулярности. Элемент $a$ называется левомодулярным, если для любого элемента $b$ пара $a,b$ модулярна.

Элемент $b$ называется правомодулярным, если для любого элемента $a$ пара $a,b$ модулярна.

Закон модулярности и некоторые его следствия впервые установлены Рихардом Дедекиндом в 1894 году.

Литература

• Дедекиндова решётка — статья из Математической энциклопедии. Л. А. Скорняков
• Салий В. Н., Скорняков Л. А. . Глава V. Решётки // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 192—294. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Г. Гретцер. IV. Модулярные решётки // Общая теория решёток = General Lattice Theory / под редакцией Д. М. Смирнова. — М.: Мир, 1981. — С. 211—224. — 456 с.
• Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 568 с.