Несмещённая оценка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldotsвыборка из распределения, зависящего от параметра \theta \in \Theta. Тогда оценка \hat{\theta} \equiv \hat{\theta}(X_1,\ldots,X_n) называется несмещённой, если

\mathbb{E}\left[\hat{\theta}\right] = \theta,\quad \forall \theta \in \Theta.

В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина \hat{\theta} - \theta называется её смеще́нием.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть независимые случайные величины X_i имеют конечную дисперсию \mathrm{D}X_i = \sigma^2. Построим оценки
S_n^2 = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X}\right)^2выборочная дисперсия,

и

S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X}\right)^2исправленная выборочная дисперсия.

Тогда S^2_n является смещённой, а S^2 несмещённой оценками параметра \sigma^2. Смещенность S^2_n можно доказать следующим образом: пусть \mu и \overline{X} - среднее и его оценка соответственно, тогда:


    \begin{align}    
    \operatorname{E}[S^2_n] 
        &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 \bigg]
         = \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \big((X_i-\mu)-(\overline{X}-\mu)\big)^2 \bigg] = \\
        &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - 
                                  2(\overline{X}-\mu)\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu) + 
                                  (\overline{X}-\mu)^2 \bigg] = \\
        &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - (\overline{X}-\mu)^2 \bigg]
         = \sigma^2 - \operatorname{E}\big[ (\overline{X}-\mu)^2 \big] = \\
        &= \sigma^2 - \frac{1}{n}\sigma^2 = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2.
    \end{align}

Литература и некоторые ссылки[править | править вики-текст]