Выборочное среднее

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$. Тогда её выборочным средним называется случайная величина

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$.

Свойства выборочного среднего

• Пусть ${\hat {F}}(x)$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \Omega$ функция ${\hat {F}}(\omega ,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно ${\overline {X}}(\omega )$.

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

$\mathbb {E} \left[{\bar {X}}\right]=\mathbb {E} [X_{i}],\quad i=1,\ldots ,n$.

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

${\overline {X}}\to \mathbb {E} [X_{i}]$ почти наверное при $n\to \infty$.

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин $X_{i}$ конечна и ненулевая, то есть $\mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty ,\sigma ^{2}\not =0,\;i=1,\ldots ,n$. Тогда

${\sqrt {n}}\left({\overline {X}}-\mathbb {E} [X_{1}]\right)\to \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})$ по распределению при $n\to \infty$,

где $\mathrm {N} (0,\sigma ^{2})$ — нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $\sigma ^{2}$.

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

См. также

• Выборочная дисперсия
• Выборочные моменты