Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и $\operatorname{var}\,X$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение $\sigma_X^2$ или $\displaystyle \sigma^2$. Квадратный корень из дисперсии, равный $\displaystyle \sigma$, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Определение

Пусть $\displaystyle X$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

$D[X] = M\left[|X -M[X]|^2\right]$

где символ M обозначает математическое ожидание.

Замечания

• Если случайная величина X вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

  $D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;$

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U(t):

  $D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2 = U''(0) - \left(U'(0)\right)^2$

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $D[X] \geqslant 0;$
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X] = 0, то X = M[X] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  $\! D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y)$, где $\! \text{cov}(X, Y)$ — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  $\! D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j)$, где $c_i \in \R$;

• В частности, D[X₁ + ... + X_n] = D[X₁] + ... + D[X_n] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• $D\left[aX\right] = a^2D[X];$
• $D\left[-X\right] = D[X];$
• $D\left[X+b\right] = D[X].$

Пример

Пусть случайная величина $\displaystyle X$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $\displaystyle [0,1],$ то есть её плотность вероятности задана равенством

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right.$

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

$M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},$

и математическое ожидание случайной величины

$M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.$

Тогда дисперсия случайной величины

$D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.$

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение