Дисперсия случайной величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и \operatorname{Var}(X) (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение \sigma_X^2 или \displaystyle \sigma^2.

Квадратный корень из дисперсии, равный \displaystyle \sigma, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k^2. Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right]

где символ M обозначает математическое ожидание[1][2].

Замечания[править | править вики-текст]

Однако, так как оценка дисперсии является смещённой, то для её подсчёта необходимо дополнительно умножать на \frac{n}{n - 1}. Таким образом, итоговая формула будет выглядеть:
\! D=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n - 1}

Свойства[править | править вики-текст]

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D[X] \geqslant 0;
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D[a] = 0. Верно и обратное: если D[X]=0, то X =M[X] почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    \! D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y), где \! \text{cov}(X, Y) — их ковариация;
  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
    \! D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j), где c_i \in \R;
  • В частности, D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
  • D\left[aX\right] = a^2D[X];
  • D\left[-X\right] = D[X];
  • D\left[X+b\right] = D[X].

Пример[править | править вики-текст]

Пусть случайная величина \displaystyle X имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на \displaystyle [0,1], то есть её плотность вероятности задана равенством


f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x\in [0,1] \\
0, & x \not\in [0,1].
\end{matrix}
\right.

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},

и математическое ожидание случайной величины

M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.

Тогда дисперсия случайной величины

D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
  2. Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.

Литература[править | править вики-текст]