Дисперсия случайной величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания. Обозначается $D [X]$ в русской литературе и $\operatorname{var}\,X$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение $\sigma_X^2$ или $\displaystyle \sigma^2$ . Квадратный корень из дисперсии $\displaystyle \sigma$ называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

[править] Определение

Пусть $\displaystyle X$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

$D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right],$

где символ $M$ обозначает математическое ожидание.

[править] Замечания

В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

$D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;$

Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов $U (t)$ :

D [X] = U''(0) - U' 2 (0)

Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

[править] Свойства дисперсии

Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $D[X] \geqslant 0;$
Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: $D [a] = 0.$ Верно и обратное: если $D [X] = 0,$ то $X = M [X]$ п.н.
Пусть $\displaystyle X_1,\dots, X_n$ — случайные величины, а $Y = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; a_i\in \mathbb{R}$ — их произвольная линейная комбинация. Тогда

$D[Y] = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 D[X_i] + \sum\limits_{i\not = j} a_i a_j\,\operatorname{cov}\,(X_i,X_j) = \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 D[X_i] + 2 \sum\limits_{i < j} a_i a_j\,\operatorname{cov}\,(X_i,X_j),$

где $\operatorname{cov}\,(X_i,X_j)$ — ковариация случайных величин $\displaystyle X_i,\, X_j.$

В частности:

$D\left[ X_1 + \cdots + X_n\right] = D[X_1] +\dots +D[X_n],$

если $\displaystyle X_1,\ldots , X_n$ независимы;

$D\left[aX\right] = a^2D[X];$
$D\left[-X\right] = D[X];$
$D\left[X+b\right] = D[X].$

[править] Пример

Пусть случайная величина $\displaystyle X$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $\displaystyle [0,1],$ т. е. её плотность вероятности задана равенством