Эта статья — о скобках для логических утверждений. О скобках для округления нецелых чисел в ту или иную сторону см.
Символы Айверсона .
Скобка Айверсона — функция, возвращающая 1 для истинного высказывания , и 0, если аргумент ложный:
[
P
]
=
{
1
,
если
P
истинно
0
,
если
P
ложно
{\displaystyle [\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{если }}P{\text{ истинно}}\\0,&{\text{если }}P{\text{ ложно}}\end{cases}}}
Нотация введена Кеннетом Айверсоном для языка программирования APL , и оказалась очень удобным математическим обозначением, например, с ним можно лаконично определить:
символ Кронекера :
δ
i
j
=
[
i
=
j
]
{\displaystyle \delta _{ij}=[\,i=j\,]}
индикаторную функцию :
1
A
(
x
)
=
[
x
∈
A
]
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[\,x\in A\,]}
функцию Хевисайда :
θ
(
x
)
=
[
x
⩾
0
]
{\displaystyle \theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]}
функцию знака числа :
sgn
(
x
)
=
[
x
>
0
]
−
[
x
<
0
]
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=[\,x>0\,]-[\,x<0\,]}
Также нотация удобна при обращении с суммами , поскольку позволяет выражать их без ограничений на индекс суммирования, например:
∑
i
=
1
n
a
i
=
∑
k
a
k
[
1
⩽
k
⩽
n
]
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]}
то есть индекс
k
{\displaystyle k}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
целых чисел , и формально суммируется бесконечное число слагаемых , но лишь конечное число их отлично от нуля.
Пример вычисления с использованием нотации Айверсона суммы
S
=
∑
i
=
1
n
−
1
∑
j
=
i
+
1
n
a
i
a
j
{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}}
{
a
i
}
{\displaystyle \{a_{i}\}}
[
i
<
j
]
+
[
i
=
j
]
+
[
i
>
j
]
=
1
{\displaystyle [\,i<j\,]+[\,i=j\,]+[\,i>j\,]=1}
∑
i
,
j
a
i
a
j
[
i
<
j
]
+
∑
i
,
j
a
i
a
j
[
i
=
j
]
+
∑
i
,
j
a
i
a
j
[
i
>
j
]
=
∑
i
,
j
a
i
a
j
{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}}
S
+
∑
i
a
i
2
+
S
=
(
∑
i
a
i
)
2
{\displaystyle S+\sum \limits _{i}a_{i}^{2}+S={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}
а так как для правой части:
∑
i
,
j
a
i
a
j
=
∑
i
∑
j
a
i
a
j
=
∑
i
a
i
∑
j
a
j
=
(
∑
i
a
i
)
2
{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}a_{i}\sum \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}
то:
S
=
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
a
i
a
j
=
1
2
(
∑
i
=
1
n
a
i
)
2
−
1
2
∑
i
=
1
n
a
i
2
{\displaystyle S=\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{i}a_{j}={\frac {1}{2}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М. : Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3 .Kenneth E. Iverson. A Programming Language. — the University of California: Wiley, 1962. — 286 с. — ISBN 0471430145 .![{\displaystyle [\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{если }}P{\text{ истинно}}\\0,&{\text{если }}P{\text{ ложно}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badfcf9a96dd23d533c8494f6b0071bfc433c8aa)
![{\displaystyle \delta _{ij}=[\,i=j\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b0960facc678f4a873603233de205e4796264d)
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[\,x\in A\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079e811dec2676a089ef5419f0bbae638cbdd77a)
![{\displaystyle \theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d763b30bf840797a79fb9b6705791ab3dde02a)
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=[\,x>0\,]-[\,x<0\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa12cebfefd3c38264300bb57407d355db546c7)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a90be401e3173b6083067cbd19891beaf596899)
![{\displaystyle [\,i<j\,]+[\,i=j\,]+[\,i>j\,]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac3145d138b5e551dab7098a9a6d72155ce5d2d)
![{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69442ae5b0b4f42d6d5ef2fc41667fb2fa917fe9)
