Целое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Целые числа — расширение множества натуральных чисел \mathbb{N}, получаемое добавлением к \mathbb{N} нуля и отрицательных чисел[1] вида -n. Множество целых чисел обозначается \mathbb{Z}. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью, в общем случае, вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего.

Сумма, разность и произведение двух целых чисел дают снова целые числа, то есть целые числа образуют кольцо относительно операций сложения и умножения. Впервые отрицательные числа стали использовать в древнем Китае и в Индии, в Европе их ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

\mathbb{Z} не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.

сложение умножение
замкнутость: a + b   — целое a × b   — целое
ассоциативность: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
коммутативность: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
существование нейтрального элемента: a + 0  =  a a × 1  =  a
существование противоположного элемента: a + (−a)  =  0 a  ≠  ±1  ⇒  1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

На языке общей алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что \mathbb{Z} является абелевой группой относительно бинарной операции сложения, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент \mathbb{Z} может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, \mathbb{Z} является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе (\mathbb{Z},+).

Первые четыре свойства умножения говорят о том, что \mathbb{Z} — коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, нет такого x из \mathbb{Z}, что 2x = 1, так как левая часть уравнения чётна, а правая нечётна. Из этого следует, что \mathbb{Z} не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, — множество рациональных чисел (\mathbb{Q}).

Совокупность всех свойств таблицы означает, что \mathbb{Z} является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, b \not= 0, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и 0 \le r < |b|, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства[править | править вики-текст]

\mathbb{Z} — линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задаётся соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

  1. если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
  2. если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике[править | править вики-текст]

Тип целое число — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса \mathbb{Z} в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — С. 111—113.. — ISBN 5-17-009554-6.