Обсуждение:Фундаментальная последовательность

Untitled

К тёзке: почему Вы откатили удаление из категории "Теоремы"? Вы считаете "фундаментальную последовательность" теоремой? Мне кажется, что это определение и на "теорему" здесь ничего нет (по крайней мере, пока). С уважением, infovarius 09:45, 21 сентября 2006 (UTC)

Под теоремой Тоша имеет в виду, видимо, критерий Коши существования предела, который, правда, нормлаьно не сформулирован. ПБХ 20:52, 25 сентября 2006 (UTC)

Спасибо, понял. Тогда нужно было назвать эту статью критерий Коши и, наоборот (если нечего больше сказать о фунд.посл-ти), сделать отсюда редирект. infovarius 11:28, 26 сентября 2006 (UTC)

Я считаю это излишним, Критерий Коши это главная теорема-свойство фундаментальной последовательности, а фундаментальная последовательность это центральный объект, который имеет ещё другие свойства. Поэтому делать редирект критерий Коши --» Фундаментальная последовательность неправильно. --Тоша 00:39, 28 сентября 2006 (UTC)

Да, конечно! Но тогда именно критерий Коши является теоремой (с включением в категорию), а Фундаментальная последовательность - нет! infovarius 18:08, 28 сентября 2006 (UTC)

Не будь формалистом (будь неформалом). Как я уже сказал, я на включении в Теоремы не настаиваю, мне просто кажется что так лучше --Тоша 16:47, 29 сентября 2006 (UTC)

Зачем давать в энциклопедии доказательства. Вы почитайте преобразование Лапласа. Если бы там авторы привели все доказательства, вышел бы целый учебник. Надо сносить доказательства -- это раз. Второе: надо стремиться к максимальной общности, то есть первичные определения давать для топологических пространств, а потом уже переходить к метрическим и нормированным. Так например, последовательность в топологическом пространстве называется фундаментальной, если сущесвует окрестность некоторой точки, содержащая все эелменты этой последовательности, начиная с некоторого. Язык "ε-δ" не всегда применим. Не говоря уже о языке последовательностей. — Эта реплика добавлена участником Kodess(imm.uran.ru) (о • в)

1. «Сносить» ничего полезного не следует.
2. Фундаментальная последовательность для топологических пространств неопределена.
3. К максимальной общности стремится не надо, надо стремится к максимальной понятности и полезности --Тоша 16:32, 17 ноября 2006 (UTC)

Смысл приводить доказательства в энциклопедии? Это не учебник, они только загромождают материал. Повторяю, если насать давать доказательства более нетривиальным вещам нежели доказательство полноты множества действительных чисел, суть вики потеряется: максимальной понятности как раз не будет. — Эта реплика добавлена участником Kodess(imm.uran.ru) (о • в)

В принципе да, доказательсва не нужны, но допускаются, если сильно загромождают можно перенести в отдельную статью, не вижу от них никаких проблем. --Тоша 22:51, 21 ноября 2006 (UTC)

Связанные определения

Замечания:

- нужно указать на то что, что определение имеет смысл (не зависит от выбора представителя)

- непонятно почему это называется пополнением, ведь вроде ничего не добавлено - уточнить.

- также не понятно, что такое ро и чем оно отличается от d (я понимаю, что это всем и так ясно, но статья "Фундаментальная последовательность" - это фундаментальная :-) статья, т.е. одна из первых которые будут читаться, нужно дать хотя бы сноску на это). Alexsmail 08:13, 26 августа 2007 (UTC)

Сделал, мог бы и сам наверное? --Тоша 15:48, 26 августа 2007 (UTC)

Я что-то не пойму:

-вижу свойство: "Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится".

-в то же время в пункте "Доказательства" вижу доказательство того, что любая фундаментальная последовательность сходится

Объясните, пожалуйста

С уважением, Катя 217.71.143.58 03:30, 16 января 2008 (UTC)

Подправил статью. Теперь понятнее? infovarius 14:45, 16 января 2008 (UTC)

Да, спасибо 217.71.143.58 03:40, 17 января 2008 (UTC)

Определение для топологических пространств

"Фундаментальная последовательность для топологических пространств неопределена" А я только что как раз предложил (непроверенное) определение для топологических пространств на английской версии. Привожу здесь:

What about generalization into general topology? I suggest a definition: (Cn) is Cauchy iff there is a set such that any its open covering contains an open set S such that there exists an integer N such that for any n>N, Cn is in S.

Is it good? Does it appear somewhere? 84.229.68.163 07:19, 2 июля 2009 (UTC)

• В этом нет смысла. В метрических пространствах фундаментальность, при условии полноты, гарантирует сходимость. В произвольной топологии сходимость вообще ничто не может гарантировать. Вспомните топологию Зарисского, например, или топологию на конечной группе, в которой открытые множества — подгруппы. --Мышонок 15:26, 3 июля 2009 (UTC)

Теперь вижу, что предложеное свойство не годится: им не обладают даже метрические фундаментальные последовательности. Не помогает даже требование конечности покрытия и связности его компонентов. Интересно бы, ограничившись метрическими пространствами, добавить условие выпуклости элементов покрытия - что получится?

Вернёмся к топологии. Может быть, не произвольной, а с какими-нибудь аксиомами отделимости или ещё какими. Возьмём сходящуюся последовательность, удалим из пространства её предел - останется ли у последовательности какое-нибудь свойство, необходимое но недостаточное для сходимости и отсутствующее у произвольной последовательности? Хотя бы - возможность вернуть точку на место (причём не зная заранее, что она там была, а только анализируя саму последовательность). То же самое можно проделать, взяв вместо сходящейся последовательности точек - сходящуся последовательность окрестностей некоторой точки (определение схождения, думаю, понятно).

Другое направление поиска. Рассмотрим следующее свойство последовательности: никакое компактное множество не содержит более чем конечное число её точек. Возьмём дизъюнкцию этого свойства со сходимостью - не окажется ли это искомым обобщением? --87.68.41.183 01:14, 4 июля 2009 (UTC)

К последнему абзацу добавлю: в метрике предложенное свойство - условие в лучшем случае необходимое, но недостаточное для фундаментальности. Не совпадает ли это свойство с наличием фундаментальной последовательности, гомеоморфной данной? Если предложенное свойство действительно расширяет понятие фундаментальности, интересно бы провести соотвествующие замены в определениях, где упоминается фундаментальность - и каково будет соотношение новых понятий с прежними? --87.68.41.183 03:55, 4 июля 2009 (UTC)

• «Компактное множество не содержит бесконечное число точек» — вот не понял. А как же стационарная последовательность, для которой любое множество содержит все точки или ни одной? Кстати, всё-таки подобные обсуждения лучше вести здесь. --Мышонок 09:29, 4 июля 2009 (UTC)

Стационарная последовательность сходится. А я предлагал свойство насчёт компактного множества взять не в отдельности, а в дизъюнкциии со сходимостью. Сходилась последовательность, потом предел выкололи - осталось от сходимости какое-нибудь нетривиальное свойство? Дырку-точку гомоморфно расширили - будь то в бесконечность или в круг, последовательность в метрике перестала быть фундаментальной - но предлагаемое свойство может быть сохранила? То есть, повторяю, свойство и в метрике более слабое чем фундаментальность - но всё-таки нетривиальное и притом топологическое.

Но всё это только непровереное предположение. --87.68.41.183 14:23, 4 июля 2009 (UTC)

Поправка. Свойство "компактной недержимости" предположительно топологическое и само по себе, а дизъюнкция его со сходимостью - нужна, чтобы расширить (в том числе для метрических пространств) понятие фундаментальности. --87.68.41.183 14:39, 4 июля 2009 (UTC)

Ещё определение, предположительно эквивалентное предыдущему: искомое свойство последовательности (повторяю, более слабое (более широкое) чем фундаментальность) состоит в том, что никакое компактное множество не делит её на две бесконечные части. Если последовательность при этом ещё и сходится, она может быть (почти вся) внутри или снаружи, если не сходится - только снаружи.

Кажется, вообще компактность - обобщение полноты (а компактизация, соответственно - обобщение пополнения), а предлагаемое мной обобщение фундаментальности - параллельно этому (или, скорее, часть этого). И наверное всё это известно и как-то называется, но как? --87.68.41.183 15:31, 4 июля 2009 (UTC)

Топология.

К этой правке: понятие фундаментальной последовательности относится только к метрическим пространствам. Насколько я понимаю, предложенное обобщение -- ОРИСС, причём в этом виде определение бессмысленно, ибо так любая последовательность будет фундаментальной: окрестность $T(y)=X$ подойдёт всегда.

А вообще -- определение фундаментальности именно тем и хорошо, что оно не требует знания (и даже существования) предела. Burivykh 11:45, 27 октября 2009 (UTC)

• Только зачем в преамбуле формулы? --OZH 20:33, 27 октября 2009 (UTC)

Новая правка (от 29 октября 2009 года)

Я решил переписать статью. Предлагаю следовать указанному стилю: сначала идёт преамбула, которая объясняет понятие (без формул). Затем, идёт строгое определение. Далее необходимо привести основные теоремы. Другие статьи по математике следовало бы оформлять сходным образом. Прежде чем что-то исправлять, откатывать, предлагаю обсудить здесь. --OZH 21:20, 28 октября 2009 (UTC)

Заметил в разделе Свойства следующее: "Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится." Это немного странно. Далее приводится доказательство того, что фундаментальности сходящихся последовательностей, но не приводится примера фундаментальной несходящейся последовательности. Более того (специально посмотрел Фихтенгольца), критерий Коши говорит как раз о том, что фундаментальность последовательности равносильна ее сходимости. Очевидно, свойство имеет в виду нечто другое, но формулировка недостаточна ясна (по крайней мере мне). Lkzavr 22:46, 1 марта 2010 (UTC)

• Это всё потому, что у Фихтенгольца рассматриваются (полные) числовые пространства. Возьмите интервал $(0,1)$ и последовательность $x_{n}=1/n$: последовательность фундаментальна, но не сходится ни к одному из элементов отрезка. Дело в том, что в моей версии статьи преамбула выглядела так:

Фундаментальная последовательность — это последовательность точек метрического пространства, которая обладает свойством сходимости в себе. Это означает, что для любого заданного расстояния, существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии не более чем заданное.П

Любая сходящаяся последовательность сходится в себе. Обратное, в общем случае, неверно.

Пространства, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится, называются полными. Таким образом, в полных пространствах, сходимость последовательности в себе оказывается критерием сходимости данной последовательности и носит специальное название критерия Коши (сходимости последовательности).

• После прочтения моей версии Вашего вопроса не должно было бы возникнуть (по идее). --OZH 07:45, 2 марта 2010 (UTC)

Причины откатов 2008-08-06

По-моему грфики только сбивают с толка --- они не про фундаментальные последовательности, а про сходящиеся... То же относится к части про числовые последовательности... Соль в том, что фундаментальные последовательности определяются для общих метрических пространсвах...--Тоша 21:36, 6 августа 2010 (UTC)

Всё же как-то жестоко. Вот некоторые возражения.

1. Какие графики должны быть в этой статье? Без наглядных иллюстраций выглядит довольно брозко, а изобразить сходимость в себе графически мне представляется возможным только для числовых последовательностей. Файлик с картинкой назывался File:Cauchy sequence illustration.png, то есть был предназначен как раз для иллюстрации последовательности Коши. Да и логично, что числовая фундаментальная последовательность сходится. Я бы вернул картинку на место.
2. Числовые фундаментальные последовательности - штуки значимые, на мой взгляд, хотя и совпадают со сходящимися. В классическом математическом анализе (тонны литературы) рассматриваются (очень долго и подробно) именно они. На каком основании раздел про них был удалён? Да, они сходятся, но они и фундаментальные тоже.
3. Вместе с этим были удалены правки оформления, стилизации и тому подобного. Зачем удалили фразу из приамбулы? У неё ведь даже был источник.

Неужели статья стала лучше после отката? Shlakoblock 15:14, 7 августа 2010 (UTC)

Картинки нужны только если от них становится понятнее, в данном случае они только сбивают. --Тоша 18:53, 10 августа 2010 (UTC)

В принципе, наверное, это действительно так. Насчёт картинок согласен. Но что насчёт числовых фундаментальных последовательностей? Аргумент такой: в большом количестве литературы по математическому анализу они рассматриваются и изучаются (потом, конечно, доказывается критерий Коши сходимости последовательности). Я думаю, следует вернуть раздел про них. Shlakoblock 15:15, 11 августа 2010 (UTC)