Преобразование Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию \ F(s) комплексного переменного (изображение) с функцией \ f(x) вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение[править | править вики-текст]

Прямое преобразование Лапласа[править | править вики-текст]

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной \ f(t) называется функция \ F(s) комплексной переменной s=\sigma+i\omega[1], такая что:

F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int\limits_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt.

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа[править | править вики-текст]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного F(s)\ называется функция f(t)\ вещественной переменной, такая что:

f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\sigma_1-i\cdot\infty}^{\sigma_1+i\cdot\infty} e^{st}F(s)\,ds,

где \sigma_1\  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править вики-текст]

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции f(x)\ участвуют значения x<0.

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-sx}f(x)\,dx.

Дискретное преобразование Лапласа[править | править вики-текст]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают D\ -преобразование и Z\ -преобразование.

  • D\ -преобразование

Пусть x_d(t)=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot\delta(t-nT) — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени nT\ , где n\  — целое число, а T\  — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

\mathcal{D}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot e^{-snT}.
  • Z\ -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

z=e^{sT},

получим Z-преобразование:

\mathcal{Z}\{x_d(t)\}=\sum\limits_{n=0}^\infty x(nT)\cdot z^{-n}.

Свойства и теоремы[править | править вики-текст]

  • Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при \sigma=\sigma_0, то есть существует предел

\lim_{b\to\infty}\int\limits_0^b |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx=\int\limits_0^\infty |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx,

то он сходится абсолютно и равномерно для \sigma\geqslant\sigma_0 и F(s) — аналитическая функция при \sigma\geqslant\sigma_0 (\sigma=\mathrm{Re}\,s — вещественная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань \sigma_a множества чисел \sigma, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

  • Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа \mathcal{L}\{f(x)\} существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

  1. \sigma\geqslant 0: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл \int\limits_0^\infty |f(x)|\,dx;
  2. \sigma>\sigma_a: преобразование Лапласа существует, если интеграл \int\limits_0^{x_1} |f(x)|\,dx существует для каждого конечного x_1>0 и |f(x)|\leqslant Ke^{\sigma_ax} для x>x_2\geqslant 0;
  3. \sigma>0 или \sigma>\sigma_a (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная от f(x)) для \sigma>\sigma_a.

Примечание: это достаточные условия существования.

  • Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

  1. Если изображение F(s) — аналитическая функция для \sigma\geqslant\sigma_a и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=0 для t\leqslant 0.
  2. Пусть F(s)=\varphi[F_1(s),\;F_2(s),\;\ldots,\;F_n(s)], так что \varphi(z_1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n) аналитична относительно каждого z_k и равна нулю для z_1=z_2=\ldots=z_n=0, и F_k(s)=\mathcal{L}\{f_k(x)\}\;\;(\sigma>\sigma_{ak}\colon k=1,\;2,\;\ldots,\;n), тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

  • Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

\mathcal{L}\{f(x)*g(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\cdot\mathcal{L}\{g(x)\}.
  • Умножение изображений
f(x)g(0)+\int\limits_0^x f(x-\tau)g'(\tau)\,d\tau=sF(s)G(s).

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

  • Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

\mathcal{L}\{f'(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^+).

В более общем случае (производная n-го порядка):

\mathcal{L}\{f^{(n)}(x)\}=s^n\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^+)-\ldots-f^{(n-1)}(0^+).

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

\mathcal{L}\left\{\int\limits_0^x f(t)\,dt\right\}=\frac{F(s)}{s}.
  • Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

\mathcal{L}^{-1}\{F'(s)\}=-xf(x).

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\int\limits_s^{+\infty} F(s)\,ds\right\}=\frac{f(x)}{x}.
  • Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

\mathcal{L}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a);
\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{ax}f(x).

Запаздывание оригинала:

\mathcal{L}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-as}F(s);
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(x-a)H(x-a).

Примечание: H(x) — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

f(\infty)=\lim_{s\to 0}sF(s), все полюсы в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

  • Другие свойства

Линейность:

\mathcal{L}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).

Умножение на число:

\mathcal{L}\{f(ax)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right).

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций[править | править вики-текст]

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Функция Временная область
x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}
Частотная область
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}
Область сходимости
для причинных систем
1 идеальное запаздывание \delta(t-\tau)\ e^{-\tau s}\
1a единичный импульс \delta(t)\ 1\ \forall s\
2 запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом \frac{(t-\tau)^n}{n!}e^{-\alpha(t-\tau)}\cdot H(t-\tau) \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} s>0\,
2a степенная n-го порядка \frac{t^n}{n!}\cdot H(t) \frac{1}{s^{n+1}} s>0\,
2a.1 степенная q-го порядка \frac{t^q}{\Gamma(q+1)}\cdot H(t) \frac{1}{s^{q+1}} s>0\,
2a.2 единичная функция H(t)\ \frac{1}{s} s>0\,
2b единичная функция с запаздыванием H(t-\tau)\ \frac{e^{-\tau s}}{s} s>0\,
2c «ступенька скорости» t\cdot H(t)\ \frac{1}{s^2} s>0\,
2d n-го порядка с частотным сдвигом \frac{t^n}{n!}e^{-\alpha t}\cdot H(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s>-\alpha\,
2d.1 экспоненциальное затухание  e^{-\alpha t}\cdot H(t)\ \frac{1}{s+\alpha} s>-\alpha\
3 экспоненциальное приближение (1-e^{-\alpha t})\cdot H(t)\ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s>0\
4 синус \sin(\omega t)\cdot H(t)\ \frac{\omega}{s^2+\omega^2} s>0\
5 косинус \cos(\omega t)\cdot H(t)\ \frac{s}{s^2+\omega^2} s>0\
6 гиперболический синус \mathrm{sh}\,(\alpha t)\cdot H(t)\ \frac{\alpha}{s^2-\alpha^2} s>|\alpha |\
7 гиперболический косинус \mathrm{ch}\,(\alpha t)\cdot H(t)\ \frac{s}{s^2-\alpha^2} s>|\alpha|\
8 экспоненциально затухающий
синус
e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot H(t)\ \frac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2} s>-\alpha\
9 экспоненциально затухающий
косинус
e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot H(t)\ \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2} s>-\alpha\
10 корень n-го порядка \sqrt[n]{t}\cdot H(t) s^{-(n+1)/n}\cdot\Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s>0\,
11 натуральный логарифм \ln\left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot H(t) -\frac{t_0}{s}[\ln(t_0s)+\gamma] s>0\,
12 функция Бесселя
первого рода
порядка n
J_n(\omega t)\cdot H(t) \frac{\omega^n\left(s+\sqrt{s^2+\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2+\omega^2}} s>0\
(n>-1)\
13 модифицированная функция Бесселя
первого рода
порядка n
I_n(\omega t)\cdot H(t) \frac{\omega^n\left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s>|\omega|\
14 функция Бесселя
второго рода
нулевого порядка
Y_0(\alpha t)\cdot H(t)\ -\frac{2\mathrm{arsh}(s/\alpha) }{\pi\sqrt{s^2+\alpha^2}} s>0\
15 модифицированная функция Бесселя
второго рода,
нулевого порядка
K_0(\alpha t)\cdot H(t)    
16 функция ошибок \mathrm{erf}(t)\cdot H(t) \frac{e^{s^2/4}\mathrm{erfc}(s/2)}{s} s>0\,
Примечания к таблице:

Применения преобразования Лапласа[править | править вики-текст]

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

Связь с другими преобразованиями[править | править вики-текст]

Фундаментальные связи[править | править вики-текст]

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона[править | править вики-текст]

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

\mathcal{L}_K\{f(x)\}=sF(s).

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа[править | править вики-текст]

Двустороннее преобразование Лапласа \mathcal{L}_B связано с односторонним с помощью следующей формулы:

\mathcal{L}_B\{f(x);\;s\}=\mathcal{L}\{f(x);\;s\}+\mathcal{L}\{f(-x);\;-s\}.

Преобразование Фурье[править | править вики-текст]

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом s=i\omega:

F(\omega)=\mathcal{F}\{f(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\Big|_{s=i\omega}=F(s)\Big|_{s=i\omega}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega x}f(x)\,dx.

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина[править | править вики-текст]

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

G(s)=\mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\}=\int\limits_0^\infty \theta^s\frac{g(\theta)}{\theta}\,d\theta

положим \theta=e^{-x}, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование[править | править вики-текст]

Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

z\equiv e^{sT},

где T=1/f_s\  — период дискретизации, а f_s\  — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

X_q(s)=X(z)\Big|_{z=e^{sT}}.

Преобразование Бореля[править | править вики-текст]

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография[править | править вики-текст]

  • Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
  • Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
  • Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
  • Микусинский Я. Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В отечественной литературе обозначается также через \scriptstyle{p}. См., например,
    Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
  2. Ващенко-Захарченко М. Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев, 1862.