Оптико-механическая аналогия

Оптико-механическая аналогия — аналогия между описаниями движения материальных частиц в стационарном потенциальном поле в классической механике и распространения движения световых лучей в изотропной оптически неоднородной среде. Была установлена Гамильтоном в 1834 г. В 1926 г. была использована при создании квантовой механики де Бройлем и Шредингером для описания наличия у материальных объектов одновременно корпускулярных и волновых свойств.

Формулировка

Рассмотрим свободную частицу, движущуюся в стационарном потенциальном поле $U(r)$. Её функцию действия можно представить в виде $S({\vec {r}},t)=-Et+S_{0}({\vec {r}})$, где "укороченное" действие $S_{0}({\vec {r}})$ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби $(\nabla S_{0})^{2}=2m\left[E-U({\vec {r}})\right]$.

Это уравнение совпадает по форме с известным в геометрической оптике уравнением эйконала: $(\nabla L)^{2}=n^{2}({\vec {r}})$, где $L$ - так называемый эйконал, $n({\vec {r}})$ - показатель преломления оптически неоднородной среды, в которой распространяется электромагнитная волна.

Траектория классической частицы совпадает с кривой, описываемой при перемещении поверхности равного действия, одной из её точек. Аналогично этому, световой луч представляет собой кривую, которую описывает при своем перемещении в пространстве какая-нибудь точка поверхности постоянной фазы электромагнитной волны.

Рассмотрим геометрическое место точек пространства, в которых действие классической частицы имеет некоторое постоянное значение $S(r,t)=-Et+S_{0}(r)=const$. Дифференцируя это равенство по времени, получаем: $-E+\nabla S_{0}{\frac {dr}{dl}}{\frac {dl}{dt}}=0$ откуда, учитывая что ${\frac {dr}{dl}}={\frac {\nabla S_{0}}{\left|\nabla S_{0}\right|}}$ и $\nabla S_{0}=p$, следует $u={\frac {E}{\left|\nabla S_{0}\right|}}={\frac {E}{p}}={\frac {E}{mv}}$.

Аналогично этому, в оптике поверхности равной фазы описываются уравнением $k_{0}L({\vec {r}})-\omega t=const$. Дифференцируя его по времени, получаем скорость распространения фронта электромагнитной волны: ${\frac {dl}{dt}}={\frac {\omega }{k_{0}\left|\nabla L\right|}}={\frac {\omega }{k}}$.

Сопоставляя формулы, описывающие распространение классических частиц и распространение световых лучей, нетрудно установить аналогию между ними:

Величина	Классическая механика	Оптика
Действие	$S({\vec {r}},t)$	$k_{0}L({\vec {r}})-\omega t$
"Укороченное" действие	$S_{0}({\vec {r}})$	$k_{0}L({\vec {r}})$
Энергия	$E$	$\omega$
Импульс	${\vec {p}}$	${\vec {k}}$
-	$2m\left[E-U({\vec {r}})\right]$	$n^{2}({\vec {r}})$

Для того, чтобы соответствие между величинами классической механики и оптики было полным, необходимо величины оптики умножить на коэффициент с размерностью действия. В квантовой механике постулируется, что такой величиной является постоянная Планка.

См. также

• Постоянная Планка

Литература

• Жирнов Н. И. Классическая механика. — М.: Просвещение, 1980. — 303 с.