Отношение (математика)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.
Отношение может также означать результат операции деления, например
Содержание |
[править] Формальное определение
n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах 
, называется подмножество прямого произведения этих множеств.
Иногда понятие отношения определяется только для частного случая: 
для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать так:
.
[править] Арность
- Одноместные отношения соответствуют свойствам или атрибутам.
- Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
- Трёхместные отношения называют тернарными.
[править] Примеры
- Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначающееся символом «=». Ему принадлежат все пары вида
, и только они.
- Отношение эквивалентности на произвольном множестве M — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом «~». Состоит из пар вида
, где x и y принадлежат одному классу эквивалентности, и только из них.
- Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом « | ». Состоит из пар вида , где x делит y нацело.
[править] Отношения и предикаты
Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»).
Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов (Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Изд-во МГУ, 1982).
[править] Операции с отношениями
Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).
Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда,алгебре кортежей и реляционной алгебре.
