Отношение (реляционная модель)

Отношение — фундаментальное понятие реляционной модели данных. По этой причине модель и называется реляционной (от лат. relatio — отношение, связь).

Определения

$n$-арным отношением $R$, или отношением $R$ степени $n$, называют подмножество декартовa произведения множеств $D_1, D_2, ..., D_n (n\ge 1)$, не обязательно различных. Исходные множества $D_1, D_2, ..., D_n$ называют в модели доменами (в СУБД используется понятие множество значений, определяемых типом данных).

Отношение имеет простую графическую интерпретацию в виде таблицы, столбцы (поля, атрибуты) которой соответствуют вхождениям доменов в отношение, а строки (записи) — наборам из $n$ значений, взятых из исходных доменов. Число строк (кортежей) называют кардинальным числом отношения (кардинальностью), или мощностью отношения.

Такая таблица обладает рядом свойств:

1. В таблице нет двух одинаковых строк.
2. Таблица имеет столбцы, соответствующие атрибутам отношения.
3. Каждый атрибут в отношении имеет уникальное имя.
4. Порядок строк в таблице произвольный.

Под атрибутом здесь понимается вхождение домена в отношение. Строки отношения называются кортежами.

Формализованное определение введённых понятий.

• Заголовок Hr (или схема) отношения r — конечное множество упорядоченных пар вида <A, T>, где A называется именем атрибута, а T обозначает имя некоторого базового типа или ранее определенного домена, то есть множества допустимых значений. По определению требуется, чтобы все имена атрибутов в заголовке отношения были различны.

• Кортеж tr, соответствующий заголовку Hr — множество упорядоченных триплетов вида <A, T, v>, по одному такому триплету для каждого атрибута в Hr. Третий элемент — v — триплета <A, T, v> должен являться допустимым значением типа данных или домена T. Замечание: так как имена атрибутов уникальны, то указание домена в кортеже излишне.

• Тело Br отношения — неупорядоченное множество различных кортежей tr.

• Значением Vr отношения r называется пара множеств Hr и Br.

Полезно также понятие первичного ключа — это такой набор атрибутов, который однозначно определяет кортеж и минимален среди всех своих подмножеств (то есть нельзя убрать ни один из атрибутов). При добавлении новых записей первичный ключ обязан оставаться первичным ключом (например, неверным будет использование в качестве первичного ключа набора Имя + Отчество + Фамилия сотрудника, даже если на момент создания таблицы полных тёзок среди заносимых в неё людей не было).

Пример

Допустим, содержание доменов следующее:

• $D_1$ = {Иванов, Петров, Сидоров}
• $D_2$ = {Физика, Химия}
• $D_3$ = {3,4,5}

Тогда полное декартово произведение состоит из 18 троек, где первый элемент тройки — одна из фамилий, второй элемент — учебная дисциплина, а третий — оценка.

Тогда отношение R может моделировать реальную ситуацию и содержать пять строк, которые соответствуют результатам сессии (Петров экзамен по Физике не сдавал):

R
Фамилия	Предмет	Оценка
Иванов	Физика	4
Иванов	Химия	3
Петров	Химия	5
Сидоров	Физика	5
Сидоров	Химия	4

Операции, определённые над отношениями

См. также: реляционная алгебра, реляционное исчисление.

• Объединение — тело нового отношения является объединением тел старых
• Пересечение — тело нового отношения является пересечением тел старых
• Вычитание — тело нового отношения получено вычитанием тел старых
• Проекция — частный случай пересечения
• Декартово произведение — тело нового отношения является декартовым произведением тел старых
• Выборка — из исходного отношения выбираются лишь те кортежи, которые удовлетворяют новым доменам (заданным в условиях выборки)
• Соединение — выборка над декартовым произведением
• Деление — делитель является унарным отношением (то есть с единственным атрибутом). Частное — совпадающие части кортежей делимого, перед которыми стоит делитель.

В полученном объекте могут появиться одинаковые кортежи (например, при проецировании отношения из примера на отношение, заголовок которого состоит из единственного атрибута — фамилии, получим две пары одинаковых кортежей (два Иванова и два Сидорова) и ещё один кортеж (Петров). Необходимо удалить дубликаты, чтобы этот объект являлся отношением (тогда будет один Иванов, один Петров и один Сидоров).

Пример деления

Делимое:

Атрибут A	Атрибут B	Атрибут C
a	c	d
b	c	d
a	p	q
b	x	y

Делитель:

Атрибут A
a
b

Частное:

Атрибут B	Атрибут C
c	d

Остаток от деления:

Атрибут A	Атрибут B	Атрибут C
a	p	q
b	x	y

Чтобы было проще понять этот пример, сравните его с обычной алгеброй: умножьте делитель на частное (декартово произведение), прибавьте остаток от деления (объединение), и Вы получите делимое. То есть если a/b=c, и остаток=d, тогда b*c+d=a.

Литература

• Когаловский М.Р. Энциклопедия технологий баз данных. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 800 с. — ISBN 5-279-02276-4
• Кузнецов С. Д. Основы баз данных. — 2-е изд. — М.: Интернет-университет информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. — 484 с. — ISBN 978-5-94774-736-2
• Дейт К. Дж. Введение в системы баз данных = Introduction to Database Systems. — 8-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1328 с. — ISBN 5-8459-0788-8 (рус.) 0-321-19784-4 (англ.)
• Коннолли Т., Бегг К. Базы данных. Проектирование, реализация и сопровождение. Теория и практика = Database Systems: A Practical Approach to Design, Implementation, and Management. — 3-е изд. — М.: Вильямс, 2003. — 1436 с. — ISBN 0-201-70857-4
• Гарсиа-Молина Г., Ульман Дж., Уидом Дж. Системы баз данных. Полный курс = Database Systems: The Complete Book. — Вильямс, 2003. — 1088 с. — ISBN 5-8459-0384-X
• C. J. Date Date on Database: Writings 2000–2006. — Apress, 2006. — 566 с. — ISBN 978-1-59059-746-0, 1-59059-746-X