Бинарное отношение

Бинарным отношением называется любое множество упорядоченных пар.

Часто вместо записи $(x,\;y)\in R$ используют запись $x R y .$

Содержание

$R$ называют бинарным отношением на множестве $A$ , если $R\subset A\times A$ .
Если $R\subset A\times B,$ то говорят, что $R$ определено на паре множеств $A$ и $B$ .
Множество всех первых элементов пар из $R$ называется областью определения отношения $R$ и обозначается как $\mathrm{Dom}\,R$ .

$\mathrm{Dom}\,R=\{x\mid\exists y((x,\;y)\in R)\}.$

Множество всех вторых элементов пар из $R$ называется областью значения отношения $R$ и обозначается как $\mathrm{Im}\,R$ .

$\mathrm{Im}\,R=\{y\mid\exists x((x,\;y)\in R)\}.$

Инверсия $R$ суть множество $\{(x,\;y)\mid(y,\;x)\in R\}$ и обозначается, как $R - 1$ .
Композиция (суперпозиция) бинарных отношений $R$ и $S$ суть множество $\{(x,\;y)\mid\exists z(xSz\and zRy)\}$ и обозначается, как $R\circ S$ .

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.
Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.
Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.