Поворот Вика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поворот Вика — метод решения задач в пространстве Минковского посредством решения связанной задачи в евклидовом пространстве, используя комплексный анализ, в частности, понятие аналитического продолжения. Назван в честь Джанкарло Вика.

Обзор[править | править вики-текст]

Поворот Вика основывается на наблюдении, что метрика пространства Минковского:

ds^2 = -(dt^2) + dx^2 + dy^2 + dz^2

становится метрикой четырёхмерного евклидова пространства:

ds^2 = d\tau^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2,

если координата t принимает только мнимые значения. То есть, задачу в пространстве Минковского с координатами x, y, z, t, заменяя t = i\tau можно свести к задаче в вещественном евклидовом пространстве с координатами x, y, z, \tau.

Статистическая и квантовая механика[править | править вики-текст]

Поворот Вика связывает статистическую механику с квантовой с помощью замены обратной температуры 1/(k_B T)\, мнимым временем it/\hbar\,. Рассмотрим большое число гармонических осцилляторов при температуре T\,. Относительная вероятность найти заданный осциллятор в состоянии с энергией E\, есть \exp(-E/k_B T)\,, где k_B\, константа Больцмана. Среднее значение наблюдаемой Q\,:

\langle Q \rangle = \frac{1}{Z} \sum_j Q(j) e^{-E_j / (k_B T)}.\,

Сейчас рассмотрим один квантовый гармонический осциллятор в суперпозиции базовых состояний, за время t с Гамильтонианом H. Относительное изменение фаз базового состояния с энергией E\, есть \exp(-E it/ \hbar),\, где \hbar\, постоянная Планка. Амплитуда вероятности того, что одинаковая суперпозиция состояний |\psi\rangle = \sum_j |j\rangle\, приводит к произвольной суперпозици |Q\rangle = \sum_j Q_j |j\rangle\, есть, пропуская нормирующий множитель,

\; \langle Q|e^{-iHt/\hbar}|\psi\rangle
=  \sum_j Q_j e^{-E_j it/ \hbar}\langle j|j\rangle
=  \sum_j Q_j e^{-E_j it/ \hbar}.

Статика и динамика[править | править вики-текст]

Поворот Вика связывает статические задачи в n измерениях с динамическими задачами в n-1 измерениях, "заменяя" одно пространственное измерение на время. В случае, где n=2 примером будет висящая струна с закреплёнными концами в гравитационном поле. Форма кривой струны y(x). Струна находится в положении равновесия, когда энергия находится в экстремуме; этим экстремумом обычно является минимум, поэтому это носит название «принцип наименьшей энергии». Чтобы посчитать энергию струны, мы проинтегрируем плотность энергии:

E = \int_x \left[ k \left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2 + V(x) \right] dx,

где k — коэффициент упругости струны и V(x) — потенциальная энергия гравитации.

Соответственная динамическая задача - это бросание камня вверх; на траектории камня в соответствии с "принципом наименьшего действия" достигается локальный минимум действия (действие это интеграл от функции Лагранжа):

S = \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 - V(t) \right] dt

Мы получили решение динамической задачи (с точностью до множителя -i) из решения статической при помощи поворота Вика, заменив x на t, dx на i dt, и коэффициент упругости k на массу камня m:

-iS = \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{i dt}\right)^2 + V(t) \right] (i dt)
= -i \int_t \left[ m \left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 - V(t) \right] dt

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Wick rotation — a blog introduction
  • A Spring in Imaginary Time — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle