Евклидово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство  \mathbb R^n с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

n-мерное евклидово пространство обозначается \mathbb E^n, также часто используется обозначение  \mathbb R^n (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Формальное определение[править | править вики-текст]

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция (\cdot, \cdot), обладающая следующими тремя свойствами:

  • Билинейность: для любых векторов u,v,w и для любых вещественных чисел a, b\quad (au+bv, w)=a(u,w)+b(v,w) и (u, av+bw)=a(u,v)+b(u,w);
  • Симметричность: для любых векторов u,v\quad (u,v)=(v,u);
  • Положительная определённость: для любого u\quad (u,u)\geq 0, причём (u,u) = 0\Rightarrow u=0.

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство \mathbb R^n, состоящее из всевозможных n-ок вещественных чисел (x_1, x_2, \ldots, x_n), скалярное произведение в котором определяется формулой (x,y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.

Длины и углы[править | править вики-текст]

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u определяется как \sqrt{(u,u)} и обозначается |u|.[2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что |au|=|a||u|, то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u и v определяется по формуле \varphi=\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right). Теорема косинусов гарантирует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным.

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника[править | править вики-текст]

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы \arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right) был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство |\left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right)|\leq 1. Это неравенство действительно выполняются в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: |u+v|\leq |u|+|v|. Неравенство треугольника, вместе с перечисенными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d(x,y)=|x-y| задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой).

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Ортонормированные базисы[править | править вики-текст]

Сопряжённые пространства и операторы[править | править вики-текст]

Геометрические свойства[править | править вики-текст]

Движения евклидова пространства[править | править вики-текст]

Многогранники[править | править вики-текст]

Сфера и шар[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  • \mathbb E^1 размерности 1 (вещественная прямая)
  • \mathbb E^2 размерности 2 (евклидова плоскость)
  • \mathbb E^3 размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)

Более абстрактный пример:

  • пространство вещественных многочленов p(x) степени, не превосходящей n, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например e^{-x^2})

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
  • Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
  • Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]