Евклидово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается \mathbb E^n, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  \mathbb R^n .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство  \mathbb R^n с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

\|x\|=\sqrt{\langle x, x \rangle},

в простейшем случае (евклидова норма):

\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}

где x=(x_1,x_2,\dots, x_n) (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть  \mathbb R^n с метрикой, введённой по формуле:

\rho(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2},

где x=(x_1,x_2,\dots, x_n) и  y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n.

3. Вообще любое предгильбертово пространство (пространство со скалярным произведением \langle x, x \rangle).

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
  • Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
  • Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры[править | править исходный текст]

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  • \mathbb E^1 размерности 1 (вещественная прямая)
  • \mathbb E^2 размерности 2 (евклидова плоскость)
  • \mathbb E^3 размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)
  • Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Более абстрактный пример:

  • пространство вещественных многочленов p(x) степени, не превосходящей n, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например e^{-x^2})

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]