Евклидово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство  \mathbb R^n с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

n-мерное евклидово пространство обозначается \mathbb E^n, также часто используется обозначение  \mathbb R^n (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Формальное определение[править | править вики-текст]

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция (\cdot, \cdot), обладающая следующими тремя свойствами:

  • Билинейность: для любых векторов u,v,w и для любых вещественных чисел a, b\quad (au+bv, w)=a(u,w)+b(v,w) и (u, av+bw)=a(u,v)+b(u,w);
  • Симметричность: для любых векторов u,v\quad (u,v)=(v,u);
  • Положительная определённость: для любого u\quad (u,u)\geqslant 0, причём (u,u) = 0\Rightarrow u=0.

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство \mathbb R^n, состоящее из всевозможных n-ок вещественных чисел (x_1, x_2, \ldots, x_n), скалярное произведение в котором определяется формулой (x,y) = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.

Длины и углы[править | править вики-текст]

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u определяется как \sqrt{(u,u)} и обозначается |u|.[2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что |au|=|a||u|, то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u и v определяется по формуле \varphi=\arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right). Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные вектора, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как вектора, угол между которыми равен \frac{\pi}{2}.

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника[править | править вики-текст]

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы \arccos \left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right) был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство |\left(\frac{(x,y)}{|x||y|}\right)|\leqslant 1. Это неравенство действительно выполняются в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: |u+v|\leqslant |u|+|v|. Неравенство треугольника, вместе с перечисенными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d(x,y)=|x-y| задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x и y координатного пространства \mathbb R^n задаётся формулой d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Ортонормированные базисы[править | править вики-текст]

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами (a_1, a_2, \ldots, a_n) и (b_1, b_2, \ldots, b_n) в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле (a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, n-мерное евклидово пространство изоморфно \mathbb R^n со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции[править | править вики-текст]

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора x на подпространство U — это вектор h, ортогональный U, такой что x представим в виде u+h, где u\in U. Расстояние между концами векторов u и x является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора x до подпространства U. Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить процедуру Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы[править | править вики-текст]

Любой вектор x евклидова пространства задаёт линейный функционал x^* на этом пространстве, определяемый как x^*(y)=(x,y). Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством[4] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства[править | править вики-текст]

Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор v, переводящий точку p в точку p+v. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координанат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n×n, удовлетворяющих условию Q^\mathsf{T}Q=E,, где Q^\mathsf{T} — транспонированная матрица, а E — единичная матрица.

Примеры[править | править вики-текст]

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  • \mathbb E^1 размерности 1 (вещественная прямая)
  • \mathbb E^2 размерности 2 (евклидова плоскость)
  • \mathbb E^3 размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)

Более абстрактный пример:

  • пространство вещественных многочленов p(x) степени, не превосходящей n, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например e^{-x^2}).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве[править | править вики-текст]

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
  • Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
  • Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Существует множество различных обобщений понятия евклидова пространства. Например, замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства. Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства, а от требования положительной определённости скалярного произведения — псевдоевклидова пространства.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Гельфанд, 1998, с. 35
  2. Гельфанд, 1998, с. 39
  3. Кострикин, Манин, 1986, с. 118
  4. Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса.

Литература[править | править вики-текст]