Подгруппа кручения

Подгру́ппа круче́ния — это подгруппа, образуемая множеством элементов конечного порядка в абелевой группе. Подгруппа кручения абелевой группы $A$ обозначается $\operatorname{Tor}\,A$. Подгруппой p-кручения $\operatorname{Tor}_p\,A$ называется множество всех элементов порядка p. Подгруппы кручения и p-кручения группы определены однозначно. Любая конечно порождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму вида

$A \cong \Z^n \oplus \operatorname{Tor}\,A \simeq \Z^n \oplus \bigoplus\limits_i \operatorname{Tor}_{p_i}\,A$

где $p_i$ — простые числа. $\operatorname{Tor}_{p_i} \cong \mathbb{Z}_{p_i^{k_i}}^{+}$. Компоненты $\operatorname{Tor}_{p_i}$ являются примарными. Существует и другое разложение подгруппы кручения: $\operatorname{Tor}\,A \cong \mathbb{Z}_{u_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}_{u_r}$, где $u_1 \mid u_2, ..., u_{r-1} \mid u_r$. Числа $u_i~$ также определены однозначно и называются инвариантными множителями группы.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.