Подгруппа

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Подгруппа ― подмножество $H$ группы $G$, само являющееся группой относительно операции, определяющей $G$.

Подмножество $H$ группы $G$ является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1. $H$ содержит единичный элемент из $G$
2. содержит произведение любых двух элементов из $H$,
3. содержит вместе со всяким своим элементом $h$ обратный к нему элемент $h^{-1}$.

В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка второго условия является излишней.

Примеры

• Подмножество группы $G$, состоящее из одного элемента $1$, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы $G$.
• Сама $G$ также является своей подгруппой.

Связанные определения

• Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
• Сама группа $G$ и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы $G$, все остальные ― собственными.
• Пересечение всех подгрупп группы $G$, содержащих все элементы некоторого непустого множества $M$, называется подгруппой, порождённой множеством $M$, и обозначается $<M>$.
• Если $M$ состоит из одного элемента $a$, то $<a>$ называется циклической подгруппой элемента $a$.
  • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
• Если группа $G_1$ изоморфна некоторой подгруппе $H$ группы $G$, то говорят, что группа $G_1$ может быть вложена в группу $G$.

Свойства

• Непустое множество $H\subset G$ является подгруппой группы $G$ тогда и только тогда, когда для любых $a, b \in H$ выполняется $ab^{-1} \in H.$
• Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы $G$ является подгруппой группы $G$.
• Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп $H$ и $K$ называется подгруппа, порожденная объединением множеств $H\cup K$.
• Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
• Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Литература

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с.
• Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 24-25. — 224 с.