Подгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1. содержит произведение любых двух элементов из H,
2. содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h ^{− 1}.

В случае конечных и, вообще, периодических групп проверка условия 2 является излишней.

[править] Примеры

• Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы G.
• Сама G также является своей подгруппой.

[править] Связанные определения

• Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
• Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными.
• Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порожденной множеством M, и обозначается < M > .
• Если M состоит из одного элемента a, то < a > называется циклической подгруппой элемента a.
  • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
• Если группа G₁ изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G₁ может быть вложена в группу G.

[править] Свойства

• Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы G является подгруппой группы G.
• Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп H и K называется подгруппа, порожденная объединением множеств .
• Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
• Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп.