Показатель Гёльдера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Показатель Гёльдера \alpha (известен также как показатель Липшица) — характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель Гёльдера является вещественым.

Однородный показатель Гёльдера функции f на множестве \R определяется предельным спадом его Фурье-преобразования. Сигнал ограничен и имеет однородный показатель Гёльдера \alpha на множестве \R, если \int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat f(\omega)|(1+|\omega|^\alpha)\,d\omega<+\infty.

Локальный показатель Гёльдера может быть рассчитан исходя из спада коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования[1].

Определение[править | править исходный текст]

Функция f имеет локальный (или точечный) показатель Гёльдера \alpha\geqslant 0 в точке v тогда, когда существует константа K\geqslant 0 и полином p_v порядка m=\alpha такой, что \forall t\in\R

|f(t)-p_v(t)|\leqslant K|t-v|^\alpha.

Если функция f регулярна по Гёльдеру с показателем \alpha (имеет однородный показатель Гёльдера \alpha) \alpha>m в окрестности точки v, то это означает что функция обязательно m раз дифференцируема в этой окрестности.

Функция, которая терпит разрыв в точке v, имеет показатель Гёльдера \alpha=0 в этой точке.

Локальный (точечный) показатель Гёльдера может произвольно изменяться во времени. Это изменение может создаваться функцией с так называемыми неизолированными нерегулярностями, где функция имеет разную регулярность по Гёльдеру в каждой точке. В противоположность, постоянный (однородный) во времени показатель Гёльдера обеспечивает более глобальное измерение регулярности, которое относится ко всему интервалу.

Говоря нематематическим языком, показатель Гёльдера определяет дробную дифференцируемость функции (в точке).

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Transactions on Information Theory. — 1992. — Vol. 38. — No. 2. — P. 617—639.

Ссылки[править | править исходный текст]