Полупространство

Красная плоскость определяет синее полупространство

Полупростра́нство, ограниченное гиперплоскостью α — это геометрическая фигура в пространстве, для которой выполняется следующее:

1. Эта фигура включает в себя плоскость α, но не сводится к ней.
2. Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, не принадлежащими α, не имеет пересечений с плоскостью α.
3. Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, где А принадлежит α, а B — нет, имеет пересечение с плоскостью α.

Формальное определение

Пусть $V$ будет векторным пространством, $\lambda\colon V\to\mathbb R$ линейной формой, тогда каждое число $\beta\in\mathbb R$ определяет закрытое полупространство

$\{v\in V\mid\lambda(v)\geq\beta\}$

Если неравенство строгое, то полупространство

$\{v\in V\mid\lambda(v)>\beta\}$

называется открытым.