Порядок Брюа

Порядок Брюа на группе $S^{4}$

Порядок Брюа (сильный порядок, сильный порядок Брюа, порядок Шевалле, порядок Брюа — Шевалле) — частичный порядок на элементах группы Коксетера, который соответствует порядку включения на многообразиях Шуберта.

Впервые исследован Шарлем Эресманном в 1934 году на многообразиях Шуберта многообразий флагов или грасманианов, а аналогичную конструкцию для более общего случая полупростых алгебраических групп изучил Клод Шевалле в 1958 году. В 1968 году Дайя-Нанд Верма применил комбинаторные методы для исследования порядка Брюа на группах Вейля, и он же ввёл название — «порядок Брюа» в честь французского математика Франсуа Брюа ввиду связи с разложением Брюа. Левые и правые слабые порядки Брюа изучал Андерс Бьёрнер.

Определение

Если $(W,S)$ — система Коксетера с порождающими элементами $S$, то (сильный, слабый левый, слабый правый) порядок Брюа — это частичный порядок на группе $W$, определяемый для $u,v\in W$ следующим образом:

• $u\leqslant v$ в (сильном) порядке Брюа, если некоторая подстрока некоторого (любого) приведённого слова для $v$ является приведённым словом для $u$;
• $u\leqslant _{L}v$, то есть $u$ меньше или равно $v$ в слабом левом порядке Брюа, если некоторый постфикс некоторого приведённого слова для $v$ является приведённым словом для $u$;
• $u\leqslant _{R}v$ в слабом правом порядке Брюа, если некоторый префикс некоторого приведённого слова для $v$ является приведённым словом для $u$.

Граф Брюа

Граф Брюа — это ориентированный граф, связанный с сильным порядком Брюа. Множество вершин графа Брюа состоит из элементов группы Коксетера, а ориентированное ребро между вершинами $u$ и $v$ проводится тогда и только тогда, когда ${\textrm {l}}(u)<{\textrm {l}}(v)$ и существует такое отражение $t$, что $u=tv$. Граф Брюа можно воспринимать как ориентированный граф с помеченными рёбрами, где метки соответствуют отражениям. Аналогичным образом можно определить граф Брюа с умножением на отражение $t$ справа. В таком случае новый граф окажется изоморфен исходному, но метки на его рёбрах будут расставлены иначе.

Сильный порядок Брюа на симметрической группе обладает функцией Мёбиуса, которая определяется равенством $\mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}$, а значит соответствующее частично упорядоченное множество является эйлеровым.

Литература

• Anders Björner. Orderings of Coxeter groups // Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983) / Curtis Greene. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1984. — Т. 34. — С. 175–195. — (Contemp. Math.). — ISBN 978-0-8218-5029-9.
• Anders Björner, Francesco Brenti. Combinatorics of Coxeter groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — Т. 231. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3-540-44238-7. — doi:10.1007/3-540-27596-7.
• C. Chevalley. Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B // Algebraic groups and their generalizations: classical methods (University Park, PA, 1991) / William J. Haboush, Brian J. Parshall. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1958. — Т. 56. — С. 1–23. — (Proc. Sympos. Pure Math.). — ISBN 978-0-8218-1540-3.
• Charles Ehresmann. Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes (Fr) // Annals of Mathematics. — Annals of Mathematics, 1934. — Т. 35, вып. 2. — С. 396–443. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1968440. — .
• Daya-Nand Verma. Structure of certain induced representations of complex semisimple Lie algebras // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1968. — Т. 74. — С. 160–166. — ISSN 0002-9904. — doi:10.1090/S0002-9904-1968-11921-4.