Порядок величины

Порядок величины — класс эквивалентности $\mathcal{C}_n$ величин (или шкал) $\mathcal{C}_n=\lbrace{}x_n\rbrace$, выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение $r=\frac{x_n}{x_{n-1}}$ к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности $\mathcal{C}_n$ а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса $n$ при условии что некоторый класс $\mathcal{C}_0$ был задан или подразумевается).

Порядок числа

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию $b$, чаще всего принимают $r=b$ и $1\in\mathcal{C}_1$, $b\in\mathcal{C}_2$. При этом $n$ совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

• $\mathcal{C}_1\supset\lbrace{}1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace$
• $\mathcal{C}_2\supset\lbrace{}10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\rbrace$
• $\mathcal{C}_3\supset\lbrace{}100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900\rbrace$

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

• порядки чисел по основанию $b=10$,
• порядки чисел по основанию $b=2$ и
• порядки чисел по основанию $b=e$.

Порядок чисел в естественном языке

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в $10^n$ раз больше, где $n$ — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше».

Порядок чисел и логарифмическая функция

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам $\mathcal{C}_{n},\mathcal{C}_{n+1},\mathcal{C}_{n+2},\ldots,\mathcal{C}_{n+d}$ могут быть записаны как $x, rx, r^2x,\ldots,r^rx$, где $x\in\mathcal{C}_{n}$ — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то $\left|\log_r\frac{x_1}{x_2}\right| < 1$.

Доказательство

Действительно, пусть числа $m\in\mathcal{C}_n$ и $M\in\mathcal{C}_n$ являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку $\mathcal{C}_n$. Если число $x\in\mathcal{C}_n$ так же принадлежит порядку $\mathcal{C}_n$, то его значение должно удовлетворять условию $m\leq x\leq M$. В то же время числа $rm$ и $\frac{1}{r}M$ принадлежат смежным с порядком $\mathcal{C}_n$ порядкам $\mathcal{C}_{n+1}$ и $\mathcal{C}_{n-1}$ соответственно. Из этого следует, что для любого числа $x$ в данном порядке выполняется соотношение $\frac{1}{r}M < m\leq x\leq M < rm$.

Пусть два числа $x_1$ и $x_2$ принадлежат данному порядку $\mathcal{C}_n$. Тогда $-1=\log_r\frac{m}{rm} < \log_r\frac{x_1}{x_2} < \log_r\frac{M}{\frac{1}{r}M}=1$.

Разность порядков

Если два числа $x_1$ и $x_2$ принадлежат порядкам $x_1\in\mathcal{C}_{n_1}$ и $x_2\in\mathcal{C}_{n_2}$ в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение $d=d(x_1, x_2)=n_2-n_1$ иногда называют разностью порядков этих этих чисел.

Для двух чисел $x_1$ и $x_2$ разность их порядков может быть найдена как $d = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor$ при $x_2 \geq x_1$.

Доказательство

Выберем число $x_2^\mathord{*}\in\mathcal{C}_{n_1}$ принадлежащее порядку $\mathcal{C}_{n_1}$ и соответствующее числу $x_2$ из порядка $\mathcal{C}_{n_2}$. По определению порядка существует такое целое $d$, что $x_2^\mathord{*}=r^{-d}x_2$. Получаем, что $\log_r\frac{x_2}{x_1}=\log_r\frac{r^dx_2^\mathord{*}}{x_1} = d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1}$.

Числа $x_1$ и $x_2^\mathord{*}$ принадлежат одному порядку и потому $\log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1} < 1$. В то же время число $d$ является целым, а значит $d=\left\lfloor{}d\right\rfloor = \left\lfloor{}d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1}\right\rfloor = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor$.

В случае $x_2 \leq x_1$ разность порядков иногда берут с отрицательным знаком $d(x_1, x_2) = -d(x_2, x_1)$.

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение $d = \log_r\frac{x_2}{x_1}$.

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа $x_1$ и $x_2$ различаются не более чем на пол порядка» то есть $\left|\log_r\frac{x_2}{x_1}\right|\leq \frac{1}{2}$ или $\frac{1}{\sqrt{r}}x_1\leq x_2\leq \sqrt{r}x_1$.