Принцип максимума модуля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формулировка[править | править исходный текст]

Если f голоморфна в некоторой области G\subset\mathbb C^n и существует точка z_0\in G такая, что во всей области G выполняется неравенство |f(z_0)|\geqslant |f(z)|, то f(z)\equiv\mathrm{const}.

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области G.

Следствия[править | править исходный текст]

  • Принцип минимума модуля. Если f аналитична в некоторой области G\subset\C^n, не обращается там в нуль и существует точка z_0\in G такая, что во всей области G выполняется неравенство |f(z_0)|\leqslant|f(z)|, то f(z)\equiv\mathrm{const}. (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
  • Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции f(z) в точке z_0\in G достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция f(z) есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций e^{f(z)} и e^{if(z)}, а также равенство \left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm{Re}\,f(z)}.)

  • Пусть K\subset\mathbb C^n — компактное подмножество. Для всякой функции f, непрерывной на K и аналитичной внутри K, выполнено равенство:
\|f\|_K=\|f\|_{\partial K}.

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта K, тогда она сходится равномерно на всём K.