Псевдодуга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Псевдодуга — простейший пример континуума K, который наследственно несжимаем, то есть любой подконтинуум K не может быть представлен как объединение двух собственных подконтинуумов.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • континуум называется змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие {U_i}, i\in\{1,2,\dots,n\} такое, что U_i\cap U_j\not=\varnothing тогда и только тогда, когда |i-j|\le 1.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
  • Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
  • Существует область \Omega в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум \partial\Omega гомеоморфен псевдодуге.
  • Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
  • В пространстве всех подконтинуумов куба [0,1]^n, n>1 с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное G_\delta-множество.
  • Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.

История[править | править исходный текст]

Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910-ом году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером (польск.) [1], и вскоре пример был построена Кнастером[2]

Литература[править | править исходный текст]

  1. Knaster, B.; Kuratowski, C. Sur les ensembles connexes. Fundamenta math. 2, 206—255 (1921).
  2. Knaster, B. Un continu dont tout sous-continu est indécomposable. Fundamenta math. 3, 247—286 (1922).