Вложение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Вложение в математике — это специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта X в Y задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются X и Y. В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение f: X\to Y является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: f: X\hookrightarrow Y.

Для заданных X и Y может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения X с образом f(X)\subset Y, такую что X\subseteq Y.

Геометрия и топология[править | править исходный текст]

Общая топология[править | править исходный текст]

Отображение топологических пространств f: X\to Y называется вложением X в Y, если f: X\to f(X)\subset Y — гомеоморфизм[1] (на f(X) рассматривается топология, индуцированная с Y). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства X существование вложения X\to Y — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в Y, а другое нельзя.

Дифференциальная топология[править | править исходный текст]

Пусть M, N — гладкие многообразия и f: M\to N — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал df отображения f всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).[2]

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки x\in M существует окрестность U\subset M, x\in U, такая что f: U\to N — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rn. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении[3] утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

Алгебра[править | править исходный текст]

Теория колец[править | править исходный текст]

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец f \colon A \to B. Так как f(A) является подкольцом кольца B, то вложение f устанавливает изоморфизм между кольцами A и f(A).

Теория категорий[править | править исходный текст]

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: AB, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: CB, то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Sharpe, R.W. (1997), «Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program», Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 , page 16.
  2. Warner, F.W. (1983), «Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups», Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3 , page 22.
  3. Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), 645—680.