Нулевая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера m\times n, все элементы которой равны нулю.

Z=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

Признаки[править | править вики-текст]

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(mn).

Свойства[править | править вики-текст]

a\,Z = Z.\,
  • Сумма матрицы A и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице A:
A + Z = A,\;\;\;Z + A = A.
A - Z = A.\,
A \cdot Z = Z.\,
  • Квадратная нулевая матрица n×n при n\geqslant 1 является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:
    \left|Z\right| = 0.
    Таким образом, такая матрица не имеет обратной. Неквадратная, впрочем, тоже не имеет, что неудивительно.
Z^{T}=Z.\,
Z^{T} = -Z \,( = Z).
Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.
  • Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:
ZA = AZ = Z.

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что N M = Z_{m\times n} существуют тогда и только тогда, когда l\geqslant 2. Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда n\geqslant 2. Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.