Элементарные преобразования матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Определение[править | править исходный текст]

Элементарными преобразованиями строк называют:

  • перестановка местами любых двух строк матрицы;
  • умножение любой строки матрицы на константу k\!, k \neq 0\!;
  • прибавление к любой строке матрицы другой строки.

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка строк матрицы не выделяется в отдельное элементарное преобразование в силу того, что перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить, используя умножение любой строки матрицы на константу k\!, k \neq 0\! и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу k\!, k \neq 0\!.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение A\sim B\! указывает на то, что матрица A\! может быть получена из B\! путём элементарных преобразований (или наоборот).

Свойства[править | править исходный текст]

Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях[править | править исходный текст]

Logo arte.jpg Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях).
Если A\sim B\!, то \mathrm{rang}A=\mathrm{rang}B\!.

Эквивалентность СЛАУ при элементарных преобразованиях[править | править исходный текст]

Назовём элементарными преобразованиями над системой линейных алгебраических уравнений:
  • перестановку уравнений;
  • умножение уравнения на ненулевую константу;
  • сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторую константу.
То есть элементарные преобразования над её расширенной матрицей. Тогда справедливо следующее утверждение:
Logo arte.jpg Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях).
Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.
Напомним, что две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Нахождение обратных матриц[править | править исходный текст]

Logo arte.jpg Теорема (о нахождении обратной матрицы).
Пусть определитель матрицы A_{n\times n}\! не равен нулю, пусть матрица B\! определяется выражением B=[A|E]_{n\times 2n}\!. Тогда при элементарном преобразовании строк матрицы A\! к единичной матрице E\! в составе B\! одновременно происходит преобразование E\! к A^{-1}\!.

Приведение матриц к ступенчатому виду[править | править исходный текст]

Просмотреть статью: Ступенчатый вид по строкам

Введём понятие ступенчатых матриц:
Матрица A\! имеет ступенчатый вид, если:
  1. Все нулевые строки матрицы A\! стоят последними;
  2. Для любой ненулевой строки матрицы A\! (пусть для определённости её номер равен k\!) справедливо следующее: если a_{kj}\! — первый ненулевой элемент строки k\!, то \forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0\!.
Тогда справедливо следующее утверждение:
Logo arte.jpg Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).
Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Элементарная матрица. Матрица А является элементарной, если умножение на неё произвольной матрицы В приводит к элементарным преобразованиям строк в матрице В.

Литература[править | править исходный текст]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.