Единичная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение[править | править исходный текст]

Квадратная матрица E_n=(e_{ij}) размера (порядка n), где e_{ii}=1 для всякого i\in\overline{1,n}, и e_{ij}=0 для всяких i\ne j, называется единичной матрицей порядка n.

Единичную матрицу можно определить как матрицу (e_{ij}), у которой e_{ij}=\delta_{ij}, где \delta_{ij} - символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение[править | править исходный текст]

Единичная матрица размера n\times n обычно обозначается E_n и имеет вид:

E_n=\begin{bmatrix} 
1 & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & 1 & \cdots & 0\\ 
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 &\cdots & 1
\end{bmatrix},

Так же используется и другое обозначение: I_n.

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: E, I.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:
A E = E A = A
A^0 = E
  • При умножении матрицы на обратную ей тоже получается единичная матрица:
\! A A^{-1} = E
A A^T = E
\mathrm{det}\,E=1.

Примеры[править | править исходный текст]

Единичные матрицы первых порядков имеют вид


E_1 = \begin{pmatrix}
1 \end{pmatrix}
,\ 
E_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}
,\ 
E_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Замечание[править | править исходный текст]

Если взять две матрицы - матрицу A и единичную E, то приведением матрицы A к единичной методом Гаусса можно добиться одновременного приведения матрицы E к матрице A^{-1}. Для этого необходимо производить над единичной матрицей те же преобразования, какие производятся при приведении A к единичной. Матрица, полученная из единичной матрицы E будет равна A^{-1}.

Литература[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]