Единичная матрица

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Определение

Квадратная матрица $E_n=(e_{ij})$ размера (порядка $n$), где $e_{ii}=1$ для всякого $i\in\overline{1,n}$, и $e_{ij}=0$ для всяких $i\ne j$, называется единичной матрицей порядка $n$.

Единичную матрицу можно определить как матрицу $(e_{ij})$, у которой $e_{ij}=\delta_{ij}$, где $\delta_{ij}$ - символ Кронекера.

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы.

Обозначение

Единичная матрица размера $n\times n$ обычно обозначается $E_n$ и имеет вид:

$E_n=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix},$

Так же используется и другое обозначение: $I_n$.

Если из контекста ясно, какого размера матрица, то нижний индекс (указывающий порядок) опускается: $E$, $I$.

Свойства

• Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице:

$A E = E A = A$

• Квадратная матрица в нулевой степени дает единичную матрицу того же размера:

$A^0 = E$

• При умножении матрицы на обратную ей тоже получается единичная матрица:

$\! A A^{-1} = E$

• Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу:

$A A^T = E$

• Определитель единичной матрицы равен единице:

$\mathrm{det}\,E=1$.

Примеры

Единичные матрицы первых порядков имеют вид

$E_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Замечание

Если взять две матрицы —: матрицу $A$ и единичную $E$ — то, приведением матрицы $A$ к единичной методом Гаусса, можно добиться одновременного приведения матрицы $E$ к матрице $A^{-1}$ следующим образом: необходимо производить над единичной матрицей те же преобразования, какие производятся при приведении $A$ к единичной. Матрица, полученная из единичной матрицы $E$ будет равна $A^{-1}$.

Литература

• См. список литературы по линейной алгебре

См. также

• Нулевая матрица