Ряд Мёбиуса

Не следует путать с функцией Мертенса — которую иногда в литературе также называют «рядом Мёбиуса».

Ряд Мёбиуса — функциональный ряд вида:

$F(x)=\sum _{s=1}^{\infty }{\frac {f(sx)}{s^{n}}}$,

примечательный тем, что был исследован Мёбиусом в 1832 году, и послужил одной из мотиваций для введения функции Мёбиуса $\mu (s)$, в дальнейшем получившей множество применений в теории чисел и смежных областях. Формула обращения для ряда, которую обнаружил Мёбиус:

$f(x)=\sum _{s=1}^{\infty }\mu (s){\frac {F(sx)}{s^{n}}}$.

Наряду с формулами обращения Мёбиуса для конечных функциональных рядов, данное обращение является прямым следствием свойств свёртки Дирихле, в связи с тем, что функция Мёбиуса является обращением Дирихле единичной функции, то есть $1*\mu =\epsilon$, где $*$ — свёртка Дирихле, а $\epsilon$ — единица кольца Дирихле.

Литература

• Möbius A. F. Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — С. 105—123.
• Мёбиуса ряд — статья из Математической энциклопедии. В. М. Бредихин; см. также комментарии к английскому переводу статьи: Möbius series  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics.