Циссоида Диокла
Циссоида Диокла — плоская кривая третьего порядка, которая строится так (см. Рис. 1): В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA=2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны, синим и красным цветами.
Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:
- .
Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
- .
Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:
Параметрическое уравнение циссоиды:
- , где
- .
История
Впервые уравнение циссоиды исследовал греческий математик Диокл (Diocles) во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом, Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — греч. χισσος(«киссос»), от этого и произошло название кривой — «Циссоида».
В современном виде, циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Рене де Слюз (Rene de Sluze).
Особенности кривой
Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках B и D, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет асимптоту UV, уравнение которой: , где a — радиус вспомогательной окружности.
Площадь между циссоидой и асимптотой
Площадь, заключённая между ветвями циссоиды KOL и асимптотой UV . Уравнение верхней ветви :
- (2)
Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от до .
- (3)
Подстановка:
- .
Пределы интегрирования:
Интеграл (3) преобразуется к виду:
- .
Итак:
Площадь равна:
- .
Объём тела вращения
Объём () тела, образаванного при вращении ветви вокруг оси абсцисс, расчитывается так:
- .
Если , то , то есть .